Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
Для таких процессов взаимная корреляционная функция обладает следующими свойствами:
1) Vuv(O)=ITv,
2) Гuv (-X) = Tvu(X), (3.5.4)
3) I Tuv(X)KIru(O)Tv(O)P.
Первые два свойства следуют непосредственно из определения. Доказательство третьего требует применения неравенства Шварца.
С взаимными корреляционными функциями тесно связаны функции взаимной спектральной плотности, определяемые выражениями
^ / * Л Iim e^ (V) Уг (у)]
Vuv(V)A lim -f- >
. . , (3.5.5)
^ / \ * і- E Tr (V) Vr (V)
^vu (v) A Iim—!—-—=-і .
Г-> OO 1
Функция ~Уцу(у>) и ^fvu (у)можно рассматривать как меры статистического подобия случайных процессов U(t) и V(t) при каждом значении частоты v. Взаимная спектральная плотность — это, вообще говоря, комплексная функция. Дополнительно отметим, что она имеет следующие основные свойства:
1) ^fvu (v) = Wuv (v) /для любых действительных \
I случайных процессов I. (3.5.6)
2 )Wuv(-v) = Wuv(v)\u(t) и У (0 '
Путем таких же рассуждений, как и при выводе формулы (3.4.10), мы можем прийти к важному выводу о том, что для совместно стационарных в широком смысле случайных процессов U(t) и V(t) функции Wuv (v) и Tuv(T) являются фурье-об-разами друг друга:
+ OO
^tzvM = J Tuv(x)e»™dx,
~+1 (3.5.7)
Tw(T)= J Wuv (v) dv.
— OO
Кроме того, так же как в § 3, п. Г, мы можем выяснить действие линейной фильтрации на взаимную спектральную плотность. Предположим (рис. 3.7), что случайный процесс U(t), проходя через линейный, инвариантный во времени фильтр с передаточной функцией 3/вх (v), создает случайный процесс W(t)« Случайные процессы
85
а также, что процесс V(t), проходя через линейный инвариантный во времени фильтр с другой передаточной функцией Ж2 (v), создает случайный процесс Z(t). Путем прямого обобщения рассуждений § 3, п. В, мы можем показать, что
Vwz (V) = ^1 (V) Ж2 (V) 4fuv\y).
(3.5.8)
Читателю может показаться непонятным, зачем нужны все функции, введенные в этом пункте параграфа. Дело в том, что взаимные корреляционные функции и взаимные спектральные плотности играют крайне важную роль в теории оптической когерентности, поскольку они прямо связаны со способностью световых пучков образовывать интерференционные полосы.Здесь же нам достаточно показать, что эти понятия возникают совершенно естественным образом, когда мы рассматриваем случайный процесс Z(t), выборочные функции которого z(t) представляют собой суммы выборочных функций и (t) и v(i) двух совместно стационарных в широком смысле случайных процессов U(t) и V(t), т. е.
z(t) = u(t) + v(f).
Для такого процесса спектральная плотность легко видеть, дается выражением
»,м- Иш '[«rW^M] _
Г->оо 1
Рнс. 3.7. Преобразование взаимной спектральной плотности при линейной фильтрации.
мощности, как
= Iim
Г-Хю
E [(<ИГ (V) + Tr(V)) (<и\ (V) + Т\ (V))]
(3.5.9)
Перемножая суммы в аргументе оператора среднего значения E и усредняя четыре полученных слагаемых по отдельности, получаем
^z (V) = Su (V) -f Sv (V) -f Suv (V) -f Svu (V). (3.5.10)
Соответствующее выражение для автокорреляционной функции процесса Z(t) имеет вид
Tz (т) = Гу (T) + Tv (г) 4- Tw (т) 4- Tvt; (т). (3.5.11)
Ясно, что автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности процесса Z(t) зависят не только от соответствующих характеристик процессов U(t) и V(t) по отдельности, но также и от статистического соотношения между этими процессами, характеризуемого взаимными корреляционными функциями и взаимными спектральными плотностями. 86
Глава З
§ 6. Гауссовский случайный процесс
Как гауссовские случайные переменные представляют собой наиболее важный вид случайных переменных в физических приложениях, так и гауссовский случайный процесс играет необычайно важную роль. Причина та же: во многих физических явлениях суммируется большое число независимых аддитивных вкладов, что в силу центральной предельной теоремы приводит к гауссовскому распределению. Ниже мы кратко рассмотрим наиболее важные свойства гауссовского случайного процесса.
А. Определение
Случайный процесс U(t) называется гауссовским случайным процессом, если случайные переменные U(t\), Ufa), ... ..., U(tk), ... являются совместно гауссовскими случайными переменными для любого конечного множества моментов вре-
мени. Следовательно, для п моментов времени tu t2, вместная плотность распределения имеет вид
!
Pu (") :
(2я)*2|С|"2
ехр
{-I(U-U)fC-(U-U)J,
где
и —
-Uit1)-
u(t2)
: W = .
tn CO-
(3.6.1)
(3.6.2)
а С — ковариационная матрица с элементом г-й строки и / го столбца, определяемым выражением
°2І, =Е [[«(<!) - Й('.)] К'/) -«(</)]]•
(3.6.3)
Плотности распределения (3.6.1) соответствует совместная характеристическая функция п совместно гауссовских случайных переменных
My (<о) = ехр І іт'й — Y ю'Сю }, (3.6.4)
где
©і ©а Случайные процессы
87
Б. Линейно отфильтрованные гауссовские случайные процессы
Гауссовские случайные процессы обладают многими уникальными свойствами, которые чрезвычайно упрощают работу сними. Вот одно такое свойство: линейно отфильтрованный гауссовский случайный процесс является также гауссовским случайным процессом.
