Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
Строгое доказательство этого свойства выходит за рамки нашей книги (см., например, работу [2.7]). Но мы приведем нестрогое доказательство, чтобы показать правдоподобность этого результата. Если V(t)— линейно отфильтрованный случайный процесс, то всякую выборочную функцию v(t) можно связать с некоторой входной выборочной функцией u(t) интегралом суперпозиции
+ OO
о(/)= 5 h(t, l)u(l)dl, (3.6.5)
-OO
где h(t,l)—отклик фильтра в момент времени t на единичный импульс, приложенный в момент времени I. Интеграл можно представить в виде предела суммы:
OO
0(0= Hm Z h(t, Ik) U(U)M,
А.|->0 fe--OO
где — точка в k-м подынтервале шириной Д?. Распределение величины u(lk) по ансамблю входных выборочных функций является, как мы предполагаем, гауссовским. Так как h(t,lk) — просто известное действительное число, каждый член суммы в пределах ансамбля подчиняется гауссовскому распределению. Наконец, сумма любого числа гауссовских случайных переменных, зависимых или независимых, сама по себе является гаус-совской случайной переменной. Следовательно, распределение первого порядка переменной v(i) является гауссовским.
Таким образом, гауссовский случайный процесс обладает некоторым уникальным видом постоянства. Хотя после прохождения через линейный фильтр могут измениться параметры распределения (средние значения, дисперсии, ковариации), гауссовский характер случайного процесса сохраняется.
В. Стационарность в широком смысле и строгая стационарность
Последним необычным и важным свойством гауссовского процесса является следующее: гауссовский случайный процесс, стационарный в широком смысле, является также и строго стационарным. Доказательство этого свойства не составляет труда. 88
Глава З
Действительно, плотность распределения я-го порядка (3.6.1) зависит только от средних значений и ковариаций п выбранных величин. Если случайный процесс U(t) стационарный в широком смысле, то среднее значение не зависит от времени, а ко-вариации зависят только от разностей рассматриваемых моментов времени. Отсюда прямо следует, что п-мерная функция плотности не зависит от начала отсчета времени при всех п и, стало быть, процесс U(t) является строго стационарным. Поэтому, когда мы имеем дело с гауссовским случайным процессом, обычно не указывают тип стационарности, которым обладает этот процесс, ибо два наиболее важных вида стационарности эквивалентны.
Г. Моменты четвертого порядка
В некоторых приложениях нужно знать момент 4-порядка вида u2(t)u2(t х) для стационарного действительнозначного гауссов-ского случайного процесса с нулевым средним. Такой момент нужен, например, для вычисления автокорреляционной функции на выходе квадратичного устройства, для которого выходной V(t) и входной u(t) сигналы связаны соотношением
V (t) = U2 (t). (3.6.6)
Этот момент может быть легко найден с помощью формулы (2.7.13), справедливой для действительнозначных гауссовских случайных переменных с нулевыми средними. На основании этой формулы мы найдем, что
Г v (т) = v(t)v(t + x) = u2(t)u2 (t + x) = T2u (0) + 2Т2и (х). (3.6.7)
Для момента более общего вида и (/,) и (t2) и (t3) и (Z4) имеем
u(h) U(t2) u(t3) U(U) = Tu (t2, t JruV4, Ь) +
+ Tu (/з, t2) Tu (t4, t2) + Tu (t4, /,) Tu (t3, t2). (3.6.8)
В оптических приложениях такие моменты часто вычисляют, но, как правило, для комплекснозначных случайных процессов. Соответствующие формулы несколько отличаются от приведенных, что мы продемонстрируем в § 9.
§ 7. Пуассоновский случайный процесс
Во многих оптических задачах огромное значение имеет пуассоновский случайный процесс. В данном параграфе мы остановимся на некоторых основных свойствах таких процессов, чтобы быть готовыми к обсуждению в последующем различных вопросов, связанных с регистрацией света. Случайные процессы
89
А. Определения
Рассмотрим случайный процесс U(t) с выборочными функциями u(t) в виде б-функций Дирака (рис. 3.8,а). Такой процесс будем называть пуассоновским импульсным процессом или, для
u(t)
а
W)
6
Рис. 3.8. а — выборочная функция пуассоновского импульсного процесса; б — соответствующая скоростная функция.
краткости, просто пуассоновским процессом, если выполняются следующие два условия.
1. Вероятность P{K',t\,t2) того, что К импульсов окажутся во временном интервале < t =? t2}, дается выражением
(Smo^T , ч
P (К; tu t2)= 7 ехр I^- J К {t) dt у (3.7.1)
где —так называемая скорость процесса [A. (/)^0].
2. Числа импульсов, приходящихся на любые два неперекрывающихся временных интервала, статистически независимы.
Примерная форма скорости h(t), которая соответствует представленной выборочной функции, показана на рис. 3.8,6. На основании формулы (3.7.1) можно легко показать, что при заданной функции \{t) среднее значение и второй момент числа импульсов (или «событий») во временном интервале (^ < t ^ t2) 90
Глава З
даются выражениями
K = \ А (0 dt,
(3.7.2)
t,
К2 = К+ (К)2.
В дополнение укажем, что может быть доказана следующая теорема для моментов (см. задачу 2.6):
