Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гудмен Дж. -> "Статистическая оптика" -> 19

Статистическая оптика - Гудмен Дж.

Гудмен Дж. Статистическая оптика — М.: Мир, 1988. — 528 c.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayaoptika1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 60 >> Следующая


цп+т



2.6. Покажите: а) что сумма двух статистически независимых случайных переменных с пуассоновским распределением также описывается пуассоновским распределением; б) что если переменная К подчиняется пуассоновскому распределению, то

K(K-I) ... (K-k+l) = (KT

2.7. Выразите плотность распределения случайной переменной Z через известную плотность распределения ри(и), если:

a) z = au-\-b\

{\и\ при — 1 < 1,

1 в других случаях.

2.8. Пользуясь методом, примененным при выводе соотношения (2.5.20), найдите совместную плотность распределения 62

Глава 1

pwz(w, z), если

W=U2, Z = U-sT V

и puv(u,v)= rect w rect у, где rect X = 1 при IXI ^ 1/2 и rect X = Ob других случаях.

2.9. Имеются две независимые случайные переменные 0i и 02 с идентичным распределением, плотность которого такова:

а) Найдите плотность распределения случайной переменной

б) Покажите, что если Z — фазовый угол, который может быть измерен только с точностью до 2л, то независимо от результата «а» переменная Z однородно распределена в интервале (—л,л).

2.10. Имеется сумма случайных фазоров, о которой говорилось в § 9, п. А, с одним изменением, заключающимся в том, что фазы ф* однородно распределены в интервале (—л/2, л/2). Найдите следующие величины: г, Ї, а2, а\ и pri. Нарисуйте примерные контуры постоянной плотности распределения в комплексной плоскости.

2.11. Пусть случайные переменные Uі и U2 являются совместно гауссовскими с нулевыми средними значениями, одинаковыми дисперсиями и коэффициентом корреляции P ^ 0. Рассмотрим случайные переменные Vi и V2, определяемые преобразованием поворота вокруг начала координат в плоскости (и ItU2):

[U, 1 Г СОБф sin ф 1 Г U1 1

V2 J I. — sin ф cos ф J L U2 J '

где ф — угол поворота. Покажите, что при ф = 45° величины Vi и V2 являются независимыми случайными переменными. Каковы средние значения и дисперсии переменных Vi и V2 в этом случае?

2.12. Имеются п независимых случайных переменных Uu U2, ... ..., Un, каждая из которых подчиняется распределению Коши с плотностью

-g^r при —л < 0 ^s л, 0 в других случаях

Z = 0, + 02.

Pu (и) Случайные переменные

63

а) Покажите, что для такой плотности распределения нарушается одно из условий (2.6.16) применимости центральной предельной теоремы.

б) Покажите, что случайная переменная

'-ті".

1 = 1

подчиняется распределению Коши при всех п.

2.13. В некотором компьютере имеется генератор случайных чисел, который генерирует числа с одинаковыми относительными частотами (или с постоянной плотностью распределения) на интервале (0, 1). Предположим, однако, что требуется моделировать испытания случайной переменной Z с плотностью распределения pz(z), которая не является постоянной.

а) Покажите, что если значения, генерируемые компьютером, представляются переменной и, для которой

( 1 при 0 < 1,

Puiu) = Л п

СО в других случаях,

то требуемую функцию pz(z) можно получить посредством монотонного преобразования z = g(u), и что если и== = G(z) — функция, обратная функции g, то функция G должна быть выбрана так, чтобы выполнялось соотношение

G(z)=±\pz(z)dz,

где интеграл следует понимать как неопределенный, б) Покажите, что, для того чтобы генерировать случайную переменную с плотностью распределения

( е~г при 0 ^ г < оо, Pz (г) I Q в друГИХ случаях,

можно воспользоваться любым из следующих преобразований:

г = — In и, 2 = — ІП (1 — и).

ЛИТЕРАТУРА

2.1. Parzen Е. Modern probability theory and its applications. — N. Y.: John Wiley and Sons, 1960.

2.2. Feller W. An introduction to probability theory and its applications, Vol. 1, —N. Y.: John Wiiey and Sons, 1957. [Имеется перевод: ФеллерВ. 64

Глава З

Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. — M.: Мнр, 1984.]

2.3. Papoulis A. Probability, random variables and stochastic processes. — N. Y.: McGraw-Hill Book Co., 1965.

2.4. Papoulis O. Systems and transforms with applications in optics. — N. Y.: Mcdraw-Hi!! Book Co., 1968.

2.5. Middleton D. An introduction to statistical communicatoin theory. — N. Y.: McGraw-Hill Book Co., 1960. [Имеется перевод: Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. — M.: Сов. Радио, 1961.]

2.6. Thomas I. В. An introduction to statistical communication theory. — N. Y.: John Wiley and Sons, 1969.

2.7. Davenport №. B., Root №. L. An introduction to theory of random signals and noise. — N. Y.: McGraw-Hill Book Co., 1958. [Имеется перевод: Да-венпорт В. Б., Рут В. JI. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. - M.: ИЛ, I960.]

2.8. Beckmann P. Probability in communicotion engineering. — N. Y.: Har-court, Brace and World Inc., !967.

2.9. Bracewell R. The Fourier transform and its applications. — N. Y.: McGraw-Hill Book Co., 1965.

2.10. Beckmann P., Spizzichino A. The scattering of electromagnetic waves from rough surfaces, — Oxford: Pergamon Press, 1963. Глава З

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Естественным обобщением понятия случайной переменной является понятие случайного процесса, когда основными непредсказуемыми, т. е. случайными, событиями являются не числа, а функции (обычно времени или пространственных переменных или и того и другого). Таким образом, теория случайных процессов имеет дело с математическим описанием функций, структура которых не может быть заранее детально предсказана. Подобные функции играют чрезвычайно важную роль в оптике; например, амплитуда волны света, излучаемого любым реальным источником, имеет свойства, которые изменяются со временем в какой-то мере непредсказуемо. В данной главе мы изложим основные понятия теории таких случайных явлений, делая упор на функции времени. Обобщение на случай функций пространственных переменных не вызывает затруднений.
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed