Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гудмен Дж. -> "Статистическая оптика" -> 17

Статистическая оптика - Гудмен Дж.

Гудмен Дж. Статистическая оптика — М.: Мир, 1988. — 528 c.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayaoptika1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 60 >> Следующая


? = T2 = -у- А а2. (2.9.4) Наконец, вычислим корреляцию между г и г:

N N

ri=-wY Z а*а" cos Ф* Sinipn.

п=1

Замечая, что совф sin ф = (1/2) sin 2ф, получаем

COS sin ф„ =

cos ф sin ф = О при k Ф п,

-„-sin2f = 0 прн k = n.

Следовательно, действительная и мнимая части результирующего фазора являются некоррелированными. При этом нулевые средние значения, равенство дисперсий и отсутствие корреляции имеют место при любом конечном или бесконечном N.

Чтобы подытожить наши результаты, покажем, что в пределе при очень больших N совместная плотность распределения действительной и мнимой частей суммы случайных фазоров асимптотически (приМ->-оо) принимает вид

Pri (Г, І) — -Tj^a ехр { ^2 -}. (2.9.5)

где

T2 = -Y-. (2.9.6) 54

Глава 1

Согласно ременная

терминологии, введенной в § 8, случайная пе-а, т. е. результат суммы, является круговой комплексной гауссовской переменной. На рис. 2.11 показаны контуры постоянной плотности распределения этой величины в плоскости (г, І).

В приложении Б читатель найдет, что если вместо однородного распределения для фазы элементарного фа-зора выбрано другое распределение, то полученная совместная плотность распределения, вообще говоря, ие будет иметь нулевых средних значений, одинаковых дисперсий и нулевого коэффициента корреляции. Контуры же постоянной плотности распределения на комплексной плоскости будут эллипсами (см., например, задачу 2.10).

Рис. 2.11. Контуры постоянной плотности распределения в плоскости (г, І).

В. Распределение длины и фазы результирующего фазора

В предыдущем параграфе мы говорили о совместном распределении действительной и мнимой частей суммы случайных фазоров. Но во многих приложениях больший интерес представляет распределение длины а и фазы 8 результирующего фазора:

а = д/г2 + t2. 0 = arctg у ¦

(2.9.7)

Поскольку переход от прямоугольных к полярным координатам является однозначным отображением, чтобы найти совместное распределение величин а н 8, мы можем пользоваться методами, изложенными в § 5, п. В. Обратные функции имеют вид

r = a cos 8, i = a sin 0,

а соответствующий якобиан таков:

ШЫ

д г д г
да <56
д і ді
да дв

cos0 —a sin б I sin 0 acos0

= а.

(2.9.8)

(2.9.9) Случайные переменные

55

Pilft (а, 8):

{

Таким образом, мы имеем совместную плотность распределения рАв {а, 0) = Pm (г = a cos Є, i = a sin 8) a, (2.9.10) которая в силу формулы (2.9.5) переходит в

2^ехр{-^г} при -Ж0<я, «>0.(2911)

0 в других случаях.

Теперь могут быть найдены маргинальные плотности распределений длины и фазы. Интегрируя сначала по углу 6, получаем

+я ( а f а% 1 ^ г,

ехр I--2^5"} при а>0'

0 в других случаях.

(2.9.12)

Эта функция называется рэлеевской плотностью распределения, она показана на рис. 2.12. Соответствующие среднее значение

СрА(а)

+я ґ

PaW= S Pa^cl' в)rfO — -J

—Я V

0,5 1,0 1,5 2,0 &5 3,0 Рис. 2. !2. Рэлеевская плотность распределения.

И дисперсия равны

«И2-Ilff2

(2.9.13)

Чтобы найти плотность распределения фазы 6, проинтегрируем выражение (2.9.11) по а. Получим

Р«(0) =

1



OO

jj -^rexpj—при — jt<8<jt,

(2.9.14)

в других случаях. 56

Глава 1

Но этот интеграл точно равен интегралу от рэлеевской плотности распределения и поэтому должен быть равен единице. Отсюда мы заключаем, что фаза 0 суммы фазоров распределена на отрезке (—л, л) однородно, т. е.

Заметим, что совместная плотность распределения рАв(а, 0) может быть представлена в виде простого произведения маргинальных плотностей распределения рл(а) и ре(0). Следовательно, Л и 0 являются независимыми случайными переменными, как и действительная и мнимая части RwI, рассмотренные в п. Б.

Г. Постоянный фазор и сумма случайных фазоров

Рассмотрим далее статистические свойства суммы, состоящей из известного постоянного фазора и суммы случайных фазоров. Im

Рнс. 2.13. Сумма постоянного фазора и суммы случайных фазоров.

Без потери общности можно принять, что известный фазор является действительным и положительным и имеет длину S (это просто эквивалентно выбору начала отсчета фазы, которое соответствует фазе постоянного фазора). На рис. 2.13 изображена интересующая нас комплексная сумма.

Действительную часть результирующего фазора легко представить в виде

Рв(0) = { 2Я I О

прн — JT<e^Jl,

в других случаях.

(2.9.15)

N

(2.9.16)

тогда как мнимая часть остается прежней:

N

(2.9.17) Случайные переменные

57

Таким образом, единственным следствием добавления известного фазора является изменение величины действительной части результирующего фазора. В пределе больших N совместное распределение величин R и / остается приблизительно гауссовским, но изменяется среднее значение, т. е.

РпЛг, + (2.9.18)

Снова отметим, что часто интерес представляют в основном распределения длины а и фазы 8 результирующего фазора. Так как преобразование к полярным координатам совпадает с рассмотренным выше, якобиан преобразования остается равным А, и мы имеем
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed