Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гудмен Дж. -> "Статистическая оптика" -> 25

Статистическая оптика - Гудмен Дж.

Гудмен Дж. Статистическая оптика — М.: Мир, 1988. — 528 c.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayaoptika1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 60 >> Следующая


+ 00

%(v) = J Tu (т) ехр (j2nvx) dx, (3.4.10)

-OO

что и требовалось доказать. Если данный фурье-образ существует хотя бы в смысле б-функций, то из основных свойств преобразований Фурье следует обратное соотношение

+ 00

Tu(X)= S lSu (v) ехр (— j2nvx) dv. (3.4.11) Случайные процессы

81

Важное значение автокорреляционных функций обусловлено двумя обстоятельствами. Во-первых (и это особенно существенно в фурье-спектроскопии), автокорреляция сигнала часто может быть измерена непосредственно, что в конечном счете дает возможность экспериментально определять спектральную плотность сигнала. Чтобы найти частотный спектр мощности, в цифровой или аналоговой форме выполняют преобразование Фурье экспериментально измеренной автокорреляционной функции.

Во-вторых, автокорреляционная функция часто позволяет аналитически вычислять спектральную плотность мощности для модели случайного процесса, описываемой только статистически. Часто значительно проще вычислить автокорреляционную функцию по формуле (3.4.2), чем непосредственно вычислять спектральную плотность мощности [фор-

и(П

t

-1,0 rOS о OS 1,0 ' Tr

Рис. 3.5. Выборочная функция Рис. 3.6. Автокорреляционная случайного процесса. функция н соответствующая спек-

тральная плотность мощности.

мула (3.3.7)]. Если же автокорреляционная функция найдена, то спектральную плотность мощности легко найти путем преобразования Фурье.

Для иллюстрации рассмотрим случайный процесс U(t) с типичной выборочной функцией, показанной на рис. 3.5. Функция и(t) скачкообразно принимает значения +1 и —1- Предположим, что наша статистическая модель, подсказанная интуитивным пониманием физики явления, лежащего в основе рассматриваемого процесса, такова: число скачков п, происходящих в интервале времени |т|, подчиняется пуассоновскому распределению

P(n-,\r = (3.4.12)

где k — параметр (скорость) процесса (среднее число скачков в 1с). Автокорреляционная функция ^i) определяется 82

Глава З

выражением

Гу (/„ /,) = и (t2) и (/,) = 1 • Prob {и (/,) = и (t2)} -

- 1 - Prob {«(/,) #ы(/2)}.

Но

Счетное число скачков 1 Prob {и (Il) = Uit2)) = Prob < . .

1 Ib интервале | т | )

( нечетное число скачков 1 Prob {и (/,) Ф и (?)} = Prob < . . >¦

1 v " v ' Ib интервале | т | )

Таким образом,

т четное m нечетное

ml

¦k Itl

t^ La ml

m=0

Этот ряд равен просто e~k\%\, а потому

Гu(t2, tx) = Г у (т) = ехр (—2k I т I). (3.4.13)

Мы видим, что рассматриваемый процесс является стационарным в широком смысле, и путем преобразования Фурье функции Г[/(т) находим спектральную плотность мощности:

^<v)=TT(%y (3,4Л4)

Автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности показаны на рис. 3.6. Чтобы вычислить спектральную плотность мощности, исходя непосредственно из ее определения, потребовалось бы значительно больше труда и времени.

Для использования нами в последующем удобно здесь определить некоторые дополнительные величины, тесно связанные с автокорреляционной функцией. Во-первых, мы определим автоковариационную функцию:

Cuito, МД[ад-йШи(*,)-ВД]. (3.4.15) Таким образом,

Cu U2, f,) = Гу (t2, /,) - й (t2) й (/,), (3.4.16)

т. е. автоковариационная функция тесно связана с автокорреляционной функцией.

Второй величиной, находящей частое применение, является структурная функция Du (t2, t\) случайного процесса U(t), опре- Случайные процессы

83

деляемая следующим образом:

Dv (к, к) AW (к)-U(I1)]2. (3.4.17)

Структурная функция и автокорреляционная функция связаны между собой соотношением

Du (к, t1) = u2(t2) + u2(t1)-2ru((2, U). (3.4.18)

Структурная функция имеет то преимущество, что она зависит только от задержки т == h — даже для некоторых случайных процессов, не являющихся стационарными в широком смысле. Например, легко показать, что случайный процесс, являющийся нестационарным, но имеющий стационарные приращения, имеет структурную функцию, зависящую только от т. Конечно, функция Du(t2,t\) зависит только от т и для более строгих типов стационарности. Если процесс U(t) стационарный в широком смысле, то Du (х) и Г[/(т) связаны соотношением

Du (т) = 2Гу (0) — 2Гу (т). (3.4.19)

В дополнение заметим, что структурная функция Du (т) может быть выражена через спектральную плотность мощности

+ OO

Du (т) = 2 J % (v) [ 1 — cos 2nvx] dv. (3.4.20)

— OO

§ 5. Взаимные корреляционные функции и взаимные спектральные плотности

Естественным обобщением понятия автокорреляционной функции является понятие взаимной корреляционной функции двух случайных процессов, определяемой следующим образом:

гUV (к, U) A E [U(Qvitl)). (3.5.1)

В дополнение к данному определению среднего по ансамблю мы можем определить взаимную корреляционную функцию, усредненную по времени:

IV(IOA<"C + TM/)>. (3.5.2)

Случайные процессы U(t) и V(t) называются совместно стационарными в широком смысле, если Tuv(t2,t\) зависит только от разности времен т = t2 — tu в этом случае

TUV (к, к) = Vuv(X). (3.5.3) 84 Глава З

Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed