Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гудмен Дж. -> "Статистическая оптика" -> 23

Статистическая оптика - Гудмен Дж.

Гудмен Дж. Статистическая оптика — М.: Мир, 1988. — 528 c.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayaoptika1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 60 >> Следующая


«(0=1 (при всех/)

имеет спектральную плотность мощности

g?(V) = 6(v).

Таким образом, строго говоря, указанный предел в данном случае не существует, он существует в смысле б-функции.

К сожалению, (Зля многих функций этот предел не существует даже в смысле 8-функций. Точнее, в этом случае с возрастанием T до бесконечности величина &t(v) очень сильно флуктуирует Случайные процессы

75

при любом значении v. Так часто обстоит дело, если u(t)—выборочная функция стационарного случайного процесса.

Заметим, что представленные выше определения величин <ЁГ(v) и S(v) относятся лишь к отдельной функции u(t), а случайный процесс содержит целый ансамбль различных функций. Ясно, что для случайного процесса определение спектральной плотности мощности должно быть другим.

Б. Спектральная плотность случайного процесса

Существует простая и логически обоснованная модификация определений спектральных плотностей энергии и мощности, которая оказывается вполне удовлетворительной иа практике. Поскольку мы желаем найти спектральное распределение, которое характеризовало бы полный случайный процесс, логичным будет определить такие величины в виде средних по полному случайному процессу. Поэтому мы определим спектральные плотности энергии и мощности следующим образом:

Su (V) А Е[ 11M(V)I2], (3.3.7а)

E ГI aU (v) pi

9и (v) A Iitn 11 I 1 J . (3.3.76)

Г-»СО 1

Последний предел действительно существует в большинстве представляющих интерес случаев.

Некоторые основные свойства спектральных плотностей прямо следуют из определений (3.3.7) :

1) (V) 35 0, 0; спектральные плотности энергии и мощности неотрицательны (и действительны);

2) Su (—v) = Su(V), 9и (—v) = 5?t/(v); спектральные плотности энергии и мощности являются четными функциями аргумента V при условии, что U (t)— случайный процесс с действительными выборочными функциями;

+ OO +OO

3) J Zu(V)ClV= J ?Jt)dt,

— OO —OO

4_со _

г ^ /v4^v_f и2 для стационарного процесса U (t)f

J I (и2 (O) для нестационарного процесса U (t).

— OO

Свойство 1 следует непосредственно из того, что положительны выражения (3.3.7). Свойство 2 следует из эрмитовости операторов 4l(v) и UT(v) [т. е, равенств U(— v) = IL*(v), Я1т(— v) = = <M*(v)] при любых действительных значениях и (t). Свойство 3 для спектральной плотности энергии следует из теоремы Пар- 76 Глава З

севаля после изменения порядка выполнения усреднения и интегрирования. Свойство 3 для спектральной плотности мощности можно доказать, исходя из того, что

-f OO +OO

С 9аШу=а \ шЕ пуп =

J J T-* OO 1

— OO —OO

[+00 _ +OO

J I <ut (v) I2 dv = Um -J ? J u\(f)dt\,

где на последнем этапе была использована теорема Парсеваля. Продолжая, получаем

[+0° -J г/2

S1 u\(t)dt\ = lim у- J E[u*(t)]dt = +OO J Т-*°° _Г/2

_f іГ2 для стационарного процесса U (t),

I (u2(0) для нестационарного процесса U (t).

Таким образом, основные свойства спектральных плотностей доказаны.

В. Спектральные плотности энергии и мощности

для линейно отфильтрованных случайных процессов

Пусть V(t)— случайный процесс, выборочные функции которого являются результатом прохождения всех выборочных функций случайного процесса U(t) через известный линейный фильтр1). Тогда V(t) называется линейно отфильтрованным случайным процессом. Для случайных процессов с выборочными функциями, допускающими преобразование Фурье, найдем соотношение между спектральными плотностями энергии «V(v) на выходе фильтра и &u(v) на входе фильтра. Если выборочные функции процесса U(t) не допускают преобразования Фурье, но имеют конечную среднюю мощность, то нужно найти соотношение между спектральными плотностями мощности $?v(v) и 9и (V).

Сначала рассмотрим волновые формы, допускгщие преобразование Фурье. Предполагается, что линейный фильтр инвариантен во времени; в этом случае выходная выборочная функция выражается через соответствующую входную выборочную функцию и(t) формулой свертки

+ OO

о(/)= 5 h (t -Du(I) dl, . (3.3.8)

') О свойствах линейных фильтров см., например, [2.9, гл. 9]. Случайные процессы 77

где h(t)—известный отклик фильтра в момент времени t на единичный импульс, поступивший в момент времени ^ = O [т. е. h(t)— «импульсный отклик» фильтра]. В частотном представлении это соотношение соответствует простому умножению:

r(v) = M(v)<U(v), (3.3.9)

где T (v) и 11 (v) — фурье-образы функций v(t) и и (t), а Ж (v) — фурье-образ функции h(t) (называемый передаточной функцией). Применительно к Sv (v) определение (3.3.7а) теперь принимает вид

Sv (V) = E [ IЖ (v) 11 (v) I2] = IЖ (v) I2 Su (v). (3.3.10)

Итак, спектральное распределение"энергии в случайном процессе на выходе фильтра получается путем простого умножения на величину \26(\) |2-

В случае процессов с конечной средней мощностью соотношение между спектральными плотностями 9v(v) и lSu(v) выводится путем более тонких рассуждений. В этом случае фурье-образы T(v) и 1l(v), вообще говоря, не существуют. Однако обрезанные волновые формы vT(t) и uT(t) имеют фурье-образы Tt(v) и Ut(V). Кроме того, хотя и приближенно (из-за «концевых эффектов»), мы все же можем написать соотношение
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed