Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гудмен Дж. -> "Статистическая оптика" -> 20

Статистическая оптика - Гудмен Дж.

Гудмен Дж. Статистическая оптика — М.: Мир, 1988. — 528 c.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayaoptika1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 60 >> Следующая


§ 1. Определение и описание случайного процесса

В основе понятия случайного процесса тоже лежит представление о случайном эксперименте с набором возможных событий {Л} и связанной с этим набором мерой вероятностей. Определяя случайную переменную, мы приписывали каждому элементарному событию Л действительное число и(А). Определяя же случайный процесс, мы каждому элементарному событию А приписываем действительную функцию и (Л; t) независимой переменной t. Семейство возможных выборочных функций u(A;t) вместе с соответствующей мерой их вероятностей и называется случайным процессом.

Как правило, в обозначении случайного процесса [символ U(t)] и соответствующих выборочных функций u(t) зависимость случайного процесса от множества событий {Л} явно не указывается. Следует, однако, помнить, что процесс U(t)—это все множество возможных значений и(t) вместе с мерой их вероятностей. 66

Глава З

Существует несколько различных путей математического описания случайного процесса. Наиболее общий из ннх—полное перечисление всех выборочных функций, образующих случайный процесс, с указанием их вероятностей. Мы продемонстрируем такое полное описание на следующем примере. Пусть рассматриваемый эксперимент состоит из двух бросаний «честной» монеты, т. е. монеты, которая с одинаковой вероятностью выпадает и «решкой» и «орлом». «Элементарные события» множества {Л} таковы: A1 = PP, A2 = PO, A3 = OP и A4 = 00. Каждому элементарному событию припишем определенную выборочную функцию следующим образом:

и (A1; /) = ехр (/), и (A2; O = ехр (2/),

и (A3; () = ехр (З/), ( '

u(Aa; O = ехр (40-

В каждом случае должна быть вычислена вероятность, связанная с соответствующим событием. Заметим, что если одну и ту же выборочную функцию порождают несколько разных событий, то должны быть раскрыты все возможные пути генерации каждой выборочной функции и вероятностью, связанной с этой выборочной функцией, становится вероятность того, что имеет место любое из этих событий. Таким образом, затратив много труда, мы перечислим все выборочные функции множества вместе с их вероятностями; это и будет полным описанием случайного процесса.

Такое полное описание далеко не всегда возможно н даже не всегда желательно. В большинстве практических приложений для вычисления величин, представляющих физический интерес, необходимо лишь частичное описание случайного процесса. Возможны различные виды частичного описання. В некоторых приложениях оказывается достаточно рассматривать параметр t как фиксированный и можно определить плотность распределения первого порядка случайной переменной U(t), которую мы обозначим символом pu(u;t). Такое описание позволяет найти м, U2 и другие моменты величины U при любом значении t.

Чаще же требуется плотность распределения второго порядка переменной U при значениях U и t2 параметра U На рис. 3.1 представлен набор возможных функций и указаны два значения параметра t\ и t2. Плотность распределения второго порядка — это совместная плотность распределения случайных переменных U(tі) и U(t2). Вообще говоря, указанная плотность распределения зависит как от t\, так и от t2 и поэтому обозначается символом ри{ui, из; tu із), где ui = u(U), u% = u(t2). При Случайные процессы

67

таком описании мы можем вычислять совместные моменты, например:

+ OO

U1U2= ^ UlU2Pu (ии U2', tu t2)duxdu2. (3.1.2)

— со

В некоторых случаях могут потребоваться плотности распределения даже более высокого порядка. Чтобы полностью описать случайный процесс U(t), должна существовать возможность определить плотность распределения k-ro порядка

Pu (и і, и2, ..., Uk; tu 12, ..., tk) при всех k. Такое описание эквивалентно полному описанию, рассмотренному выше, и его точно так же трудно провести. На практике в полном описании никогда не бывает необходимости.

В заключение заметим, что случайный процесс есть математическая модель, которая представляет ценность только до тех пор, пока точная выборочная функция u(t) не определена из эксперимента. До эксперимента случайный процесс характеризует априорное состояние наших знаний. После того как функция u{t) определена из эксперимента, остается только одна представляющая интерес выборочная функция, а именно та, которая наблюдалась. 68

Глава З

§ 2. Стационарность и эргодичность

Из бесконечного множества моделей случайных процессов, которые могут быть построены в принципе, основное значение для физических приложений имеет лишь некоторое ограниченное число типов. В данном параграфе определяются и обсуждаются различные ограниченные классы таких моделей. Эту классификацию ни в коей мере нельзя считать полной или исчерпывающей, она просто устанавливает определенные типы моделей, с которыми мы встретимся в дальнейшем.

Случайный процесс называется строго (в узком смысле) стационарным, если совместная плотность распределения й-го порядка pu(ui,u2, ..., uk\ tu t2, ..., tk) не зависит от выбора начала отсчета времени при всех k. Формулируя это определение математически, мы потребуем, чтобы выполнялось равенство
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed