Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гудмен Дж. -> "Статистическая оптика" -> 22

Статистическая оптика - Гудмен Дж.

Гудмен Дж. Статистическая оптика — М.: Мир, 1988. — 528 c.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayaoptika1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 60 >> Следующая


1, а другой — амплитуду, равную

2. Каждый класс встречается с вероятностью 1/2. Ясно, что относительные частоты, наблюдаемые «вдоль» выборочной функции с амплитудой 1, отличаются от относительных частот функций с амплитудой 2. Таким образом, не для всех выборочных функций относительные частоты в направлении оси времени совпадают с наблюдаемыми в направлении, поперечном процессу.

Если случайный процесс эрго-дический, то среднее любой величины, вычисленное «вдоль»

выборочной функции (т. е. среднее по времени), должно равняться среднему той же величины, вычисленному по всему ансамблю выборочных функций (т. е. среднему по ансамблю). Следовательно, если g(u)— величина, подлежащая усреднению, среднее по времени

Т/2

(ST)=Iim 4- \ g[u(t)]dt (3.2.5)

1 J12

должно равняться среднему по ансамблю

Рис. 3.3. Пример стационарного, но неэргоднческого процесса.

+ OO

S= J g (и) ри (и) du.

(3.2.6) 72

Глава З

Для эргодического случайного процесса средние по времени и по ансамблю равны и взаимозаменяемы.

Остается нерешенным важный вопрос. Каков критерий того, что некоторый модельный случайный процесс, который, как мы считаем, точно представляет исследуемое случайное явление, обладает свойством эргодичности? Чтобы установить эргодичность, нужно рассмотреть полный ансамбль выборочных функций. Этот

ансамбль может быть назван эргодическим при выполнении следующих условий [2.5]:

а) ансамбль строго стационарен;

б) ансамбль не содержит строго стационарных подансамб-лей, вероятность которых отлична от нуля и единицы.

Заметим, что некоторые случайные явления для правильного моделирования требуют использования неэргодического ансамбля.

Иерархия типов случайных процессов наглядно представлена на рис. 3.4, где показан переход от широкой совокупности всех случайных процессов к весьма узкому классу эргодических процессов. Кругами внутри больших кругов изображены подмножества более широких множеств.

Рнс. 3.4. Иерархия классов случайных процессов. Случайные процессы

73

§ 3. Спектральный анализ случайных процессов

Пусть u(t)—известная функция времени. Можно выделить два различных класса функций времени. Если функция u(t) обладает свойством

+ OO

J \u(t)\dt < оо, (3.3.1)

— со

то мы говорим, что функция u(t) допускает преобразование Фурье. Если же функция u(t) не обладает свойством (3.3.1), но удовлетворяет условию

г/2

lim ± [ u2(t)dt<°о, (3.2.2)

Г-» OO 1 J

-г/2

то мы говорим, что функция и(t) имеет конечную среднюю мощность. В обоих рассмотренных случаях важно суметь практически определить частотное распределение энергии [если выполняется условие (3.3.1)] или средней мощности [если выполняется условие (3.3.2)]. Иначе говоря, нужно найти спектральную плотность энергии (спектр энергии) и спектральную плотность мощности (спектр мощности) функции и(О').

Аналогичным образом, если U(t)— случайный процесс с выборочными функциями, удовлетворяющими условию (3.3.1) или (3.3.2), важно суметь охарактеризовать частотное распределение энергии или средней мощности не только для одной выборочной функции, но и для всего случайного процесса. Так как конкретный вид выборочной функции, которая реализуется в эксперименте, заранее неизвестен, логично говорить об ожидаемом частотном распределении энергии и средней мощности. Эти ожидаемые, или средние, распределения характеризуются соответственно спектральной плотностью энергии и спектральной плотностью мощности случайного процесса U(t). Различие между спектральными плотностями известных функций и случайных процессов очень важно, оно будет детально рассмотрено далее в следующем пункте.

А. Спектральные плотности известных функций

Если u(t)—функция, допускающая преобразование Фурье, то величина

+ OO

-M(V)=S и (t) e,23lvt dt (3.3.3)

') Термины «энергия» н «мощность» имеют здесь условный характер, поскольку конкретная размерность функции u(t) произвольна. — Прим. перев. 74 Глава З

всегда существует. Далее, по теореме Парсеваля [2.6, с. 380] площадь кривой \H(y)f равна полной энергии, содержащейся в u(t), т. е.

+ OO +OO

J и2 (t) dt = J 111 (v) I2 dv. (3.3.4)

— OO —OO

Таким образом, величина

<§Г (v) = I (v) I2 (3.3.5)

имеет размерность энергии на единицу частоты, и мы назовем ее спектральной плотностью энергии функции u(t).

Предположим теперь, что функция u(t) не допускает преобразования Фурье, но имеет конечную среднюю мощность. Тогда, вообще говоря, интеграл (3.3.3) не существует. Однако обрезанная функция

uT(t) = \u(t) при -Т<'<Т- (3.3.6)

(.0 в других случаях

допускает преобразование Фурье, результат которого мы обозначим через Ч1Т (v). Величина IiMr(V)I2XapaKTepHsyeT частное распределение энергии для обрезанной функции «г (О- Следовательно, нормированный спектр энергии

W-I=M

имеет размерность мощности на единицу частоты, и мы логически приходим к определению спектральной плотности мощности функции u(t)

'S (v)A Iim

I-Wr(V) P

Г-*оо

Такое определение оказывается адекватным для ряда функций. Например, читатель может показать с помощью описанного предельного перехода, что функция
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed