Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гудмен Дж. -> "Статистическая оптика" -> 18

Статистическая оптика - Гудмен Дж.

Гудмен Дж. Статистическая оптика — М.: Мир, 1988. — 528 c.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayaoptika1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 60 >> Следующая


о f (о cos Є — S)2 + (a sin Є)2} да ехр {--2er2-} "Ри

а > 0, -я<8<я, (2.9.19) О в других случаях.

Чтобы найти маргинальную плотность распределения А, следует вычислить

я я

Mfl)= e(fl> e)d0 = I^rexP (-^iT") S ехр cose) de.

-я -я

Интеграл может быть представлен в виде 2nlo(as/o2), где /о — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Таким образом, получим выражение

( a ( o2 + s2\,/os\ ^ _

рл(а) = ( "РИ а>0' (2.9.20)

І0 в других случаях.

РАе(а> 9) =

Эта функция называется райсовской плотностью распределения.

На рис. 2.14 представлены кривые зависимости величины арл(а) от а/о при разных значениях параметра k = s/o. При увеличении модуля известного фазора плотность распределения изменяется по форме от рэлеевской плотности до рассматриваемой в следующем пункте параграфа приблизительно гауссовской плотности со средним значением, равным S.

В последующих главах нам понадобятся два момента распределения, характеризуемого плотностью (2.9.20). Это — среднее значение

OO

fl = 5 (2.9.21) 58

Глава 1

арлЮ

Рнс. 2.14. Плотность распределения амплитуды А суммы, состоящей из постоянного фазора (длиной s) н суммы случайных фазоров (дисперсия о2)

[6]. Параметр k = s/a.

и второй момент

OO

^2 = S 5 ехр (- I0 (-? da. (2.9.22)

о

Эти интегралы могут быть вычислены, и результат таков [2.6, § 4.8]:

«= д/ї —K1 4)ЧТ)+Т/.(Т)]- (2.9.23)

а2 = в2 [2 + k2], (2.9.24)

где /о и 1\ — модифицированные функции Басселя первого рода нулевого и первого порядков соответственно.

Чтобы найти маргинальную плотность распределения ре (6) для фазы, следует вычислить

OO

PeW=S Рлв(а'е)^а'

о

Это интегрирование является достаточно сложным, поэтому мы приведем здесь только окончательный результат [2.6, § 4.8]:

... e-W , k cos 9 Г k2 sin2 0 "1 л ,, n\ /о n oc\

(в) = + exp L--2-J Ф ( h ( • 5)

где

ь

Ф (b) = -4=r J е-У212 dy, (2.9.26) Случайные переменные

59

P9W

к* оо

ус

г

& г

Рнс. 2.15. Плотность распределения р0 (в) суммы постоянного фазора и случайных фазоров [6]. Параметр k = s/a.

График функции ре(6) при разных значениях k = s/a представлен на рис. 2.15. При k = 0 распределение однородно, а с увеличением k кривая плотности распределения сужается, сходясь к б-функции при 6 = 0, т. е. при значении фазы, равном фазе постоянного фазора.

Д. Большой постоянный фазор и малая сумма случайных фазоров

Если известный фазор по модулю значительно больше суммы случайных фазоров, то результаты, нолученные в предыдущем пункте, весьма упрощаются. Здесь мы рассмотрим приближенную форму выражений для рл(а) и Ре(6), когда s >> а или когда имеет место эквивалентное неравенство k 1. Один из подходов состоит в том, чтобы применить условие S сг к выражениям (2.9.20) и (2.9.25) и найти приближенные формы, учитывая математические упрощения. Однако мы здесь выбе^ рем более физический подход, который приводит к тому же самому результату, но более нагляден.

Наше приближение основывается на том, что при s а мы имеем дело (рис. 2.16) с малым «облаком» распределения, центр которого совпадает с концом очень длинного известного фазора. В этом случае с очень большой вероятностью длина результирующей суммы случайных фазоров будет намного меньше длины известного фазора. Вследствие этого изменения длины а полного результирующего фазора определяются действительной частью суммы случайных фазоров, а изменения 60 Глава 1

фазы — ее мнимой частью, которая ортогональна известному фа-зору. Поскольку действительная часть суммы случайных фазоров является гауссовской функцией с нулевым средним значением, мы имеем

Vihexp{-?^}' s>or- (2-9-27)

Что касается фазы 8, то при s >> о ее флуктуации малы по сравнению с единицей и поэтому

8«tg8~^, (2.9.28)

рв (Q)~sPl(i = sQ), (2.9.29)

или

Ре«» ~7=гех(2.9.30)

В заключение отметим, что при s >> о как А, так и 0 являются приблизительно гауссовскими переменными. Для ампли-

Im

туды мы имеем среднее значение a = s и дисперсию O2a = а2, а для фазы 8 = 0 и о% = l/k2 = o2/s2. Эти приближенные результаты справедливы, если выполняется условие S » сг.

Задачи

2.1. Покажите, что для любой случайной переменной U

72 = а2 + (и)2.

2.2. Покажите, что для любых двух статистически независимых случайных переменных коэффициент корреляции равен нулю. Случайные переменные 61

2.3. Даны случайные переменные

U = cos 0, V = sin©

с плотностью распределения Ps (0)



I о

' п Q 71

при--

2 2 ' О в других случаях.

Покажите, что р = 0.

2.4. Докажите следующие свойства характеристических функций:

а) при нулевом аргументе всякая характеристическая функция равна единице;

б) характеристическая функция второго порядка Muv (wu, при ColZ = O равна характеристической функции Mu (со) одной случайной переменной U;

в) для двух независимых случайных переменных UnV

Muv («у, ®v) = Mu (coy) Mv (cov).

2.5. Покажите, что момент unvm, если он существует, может быть выражен через совместную характеристическую функцию Muv(u)u, ®v) по формуле
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed