Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
Iim P2 (г) =-)=ге-г212. (2.6.15)
П -» оо V 2я
Существует обширная литература по статистике, в которой рассматривается вопрос об условиях, требуемых для выполнения этой теоремы. Здесь мы ограничимся формулировкой совокупности достаточных условий [2.6, с. 201] ¦). Именно: должны существовать два положительных числа р и q, такие, что
о2 > р > 0 1
> при всех /. (2.6.16)
EUui-UlI3Xq)
Наконец, приведем краткое и нестрогое «доказательство» центральной предельной теоремы. Пусть Mi(Co) — характеристическая функция случайной переменной Ui — м,-; будем считать, что такая характеристическая функция существует. Из соотношения (2.6.13) следует, что характеристическая функция переменной Z имеет вид
') Могут быть сформулированы менее строгие условия [2.1]. Если переменные Ut имеют одинаковые распределения, то достаточно, чтобы среднее и дисперсия этого распределения имели конечные значення. Если переменные имеют различные распределения, то достаточно, чтобы они имели конечные средние значения и конечный (2 + 6)-й абсолютный центральный момент прн некотором 6 > 0. а также удовлетворяли так называемому условию Ляпунова. Случайные переменные
41
Согласно первому из условий 1 (2.6.16), все значения а; ограничены снизу. Отсюда при любом заданном ш всегда можно найти такое достаточно большое число п, что аргумент функции M1- будет очень малым. Второе из условий (2.6.16) является гарантией того, что при малых значениях аргументов функция Mi (со/^Jnat) является выпуклой и параболической [ср. с формулой (2.4.20)]:
( V« 0
jM-TTT-H 1 • (2-6-18)
Таким образом, при достаточно большом п характеристическая функция переменной Z принимает вид
**<•>-ПО-¦?)-('-?)"¦ <2А19)
i=i
Допуская, что п неограниченно растет, получаем
Iim Mz(Co)= Iim (і --?)" = ехр (--?), (2.6.20)
П-+0О П-* со 4 ^a ' \ t /
а преобразование Фурье этого результата приводит к выражению
Iim pz(z) ==4-ехр{-4 (2-6.21)
п-*со У2я I 2 J
Следовательно, плотность распределения переменной Z асимптотически стремится к плотности гауссовского распределения.
Здесь следует проявить осторожность. Поскольку pz(z) асимптотически стремится к плотности гауссовского распределения, последняя может быть, но может и не быть хорошим приближением для pz (г) при конечных значениях п. Это зависит от того, как велико может быть п и как далеко от «хвостов» функции pz (г) мы намерены работать. Сомнительной точности результаты могут быть получены, когда в приближении гауссовского распределения вычисляются вероятности исключительно больших и маловероятных отклонений от среднего значения переменной Z. Тем не менее центральная предельная теорема оказывается необычайно ценной в случае задач, содержащих огромное число независимых вкладов.
§ 7. Гауссовские случайные переменные
Во многих задачах физики и техники мы встречаемся со случайными явлениями, представляющими собой результат большого числа аддитивных и независимых случайных событий. Поэтому в силу центральной предельной теоремы гауссовское рас- 42
Глава 1
пределение играет необычайно важную роль в статистическом анализе физических явлений. В данном параграфе мы отметим наиболее существенные свойства гауссовских случайных переменных.
А. Определения
Случайная переменная U называется гауссовской (или нормальной), если ее характеристическая функция имеет вид
Му(ш) = ехр[/ш«-^р]. (2.7.1)
Путем дифференцирования функции Mu (ш) можно показать, что и, и о — действительно среднее значение и стандартное от-
ол
/ 0,3 V
/ о,г \
/ а' \
/! I I I \ . и-й
-г,о -1,о о 1,0 г,о о Рис. 2.8. Гауссовская (нормальная) плотность распределения.
клонение. случайной переменной U. И вообще можно найти п-й центральный момент:
_ ( 1 • 3 • 5 .... (п — 1) оп при четном п,
(и-й)п = \ п (2.7.2)
v ' Ji 0 при нечетном п.
Обратное преобразование Фурье функции Mu(ш) показывает, что плотность распределения переменной U имеет вид
1 ..... f (и-й)2
Pu(U)-
ехр
(2.7.3)
У2я a ~ I 2а2
График этой функции показан на рис. 2.8.
Кроме того, говорят, что п случайных переменных Uі, U2, ... ..., Un являются совместно гауссовскими, если их совместная характеристическая функция имеет вид
M
У (ш) = ехр I /и'ш--J ш'Сш I ,
(2.7.4) Случайные переменные
43
где
U1 (D1
U2 CD2
и = : а =
(2.7.5)
а С — ковариационная пХ^-матрица с элементами строке и /г-м столбце, определяемыми в виде
Ol = El(Ui-Ui)(Uk-Uk)]. (2.7.6)
Соответствующая плотность распределения п-го порядка может быть представлена в виде
Ри{-)== (2л)п12 |С|1/2 Х Xexp|-^(u-«)'c_1(u-«)}, (2.7.7)
где |С| и С-1 — детерминант и матрица, обратная матрице С, а и — матрица-столбец значений и.
Наиболее важной для нашего дальнейшего изложения является форма (2.7.7), когда мы имеем две совместно распределенные гауссовские случайные переменные U а V, каждая из которых имеет нулевое среднее значение и O2u = = о2 = а2. В этом случае плотность распределения (2.7.7) становится равной
