Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гудмен Дж. -> "Статистическая оптика" -> 12

Статистическая оптика - Гудмен Дж.

Гудмен Дж. Статистическая оптика — М.: Мир, 1988. — 528 c.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayaoptika1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 60 >> Следующая


§ 6. Суммы действительных случайных переменных

Теперь перейдем к важной задаче нахождения плотности распределения случайной переменной, которая равна сумме двух других случайных переменных. Пусть случайная переменная z является суммой вида

Z = U + V, (2.6.1)

где U и V — случайные переменные с совместной плотностью распределения puv(u,v). Зная риv(u,v), мы хотим найти pz(z). Для иллюстрации найдем эту

величину двумя методами.

различными

А. Два метода нахождения функции pz(Z)

Следуя первому методу нахождения плотности распределения pz(z), мы вычислим сначала функцию Fz(z) и продифференцируем результат по г. На рис. 2.7 иллюстрируется это вычисление, а именно, выбрав конкретное значение величины z, мы проводим линию

Z = и + V и определяем область, внутри которой случайная переменная Z меньше или равна г. Функция распределения Fz (2) — вероятность того, что значения (u,v) попадают в эту область. Вычисляя эту вероятность, напишем

+ OO Z-O

Fz(Z)= \ dv J du puv (и, V). (2.6.2)

Рнс. 2.7. Заштрихована область, в которой Z =? г. 38

Глава 1

На основании равенства (2.5.6), дифференцируя Fz(z) по z, получаем

+ OO

Pz

(z) = \ Puv (г - о, о) dv.

(2.6.3)

Таким образом, мы можем выразить теперь плотность распределения pz через заданную совместную плотность распределения puv-

Рассмотрим еще и другой метод получения того же самого результата. Для этого воспользуемся выражением (2.5.26) для многомерных преобразований. Поскольку имеется только одно уравнение, связывающее z, и и v, нужно составить второе уравнение в соответствии с требованиями нашей задачи. Каким точно должно быть второе преобразование, не очевидно, но его можно найти методом проб и ошибок. Выберем простое преобразование w = v, так что у нас будет пара преобразований

Z = и + V, W = V.

(2.6.4)

Эта пара преобразований обращается следующим образом:

U = Z-V = W.

W,

(2.6.5)

Якобиан обратного преобразования имеет форму

1/1 =

ди du
дг dw 1 -1
dv dv O 1
dz dw

= 1.

(2.6.6)

Поэтому на основании равенства (2.5.26) получаем совместную плотность распределения w и z в виде

Pwz (0>. 2) = Puv (z — W, w).

(2.6.7)

Но нас интересует только маргинальная плотность распределения pz (г), которая получается интегрированием pwz по w:

•4" со

Pz (z) = 5 Puv (z — W1 w) dw,

(2.6.8)

что идентично предыдущему результату (2.6.3). Случайные переменные

39

Б. Независимые случайные переменные

Если случайная переменная Z равна сумме двух независимых случайных переменных U и V, то функция pz(z) исключительно просто связана с плотностями распределения величин U и V. В случае независимых переменных UnV подынтегральное выражение в формуле (2.6.8) распадается на множители:

puv (г — w, w) = Pu (z — w) pv {w\ (2.6.9) что дает выражение

+ OO

Pz(z)= 5 pu(z — w)pv(w)dw. (2.6.10)

— OO

Такой интеграл называется сверткой, он встречается настолько часто, что для него мы введем специальное обозначение. Запишем свертку (2.6.10) в виде

Pz = Pu* Pv- (2.6.11)

Показать, что функция pz равна свертке функций ри и pv, можно также другим путем — с помощью характеристических функций. Ввиду краткости этого доказательства приведем его здесь. Характеристическая функция переменной Z по определению равна

Mz (со) = ехр (/иг) = ехр [ja {и + о)]. (2.6.12)

Но так как переменные UbV независимы, последнее среднее может быть представлено в виде произведения двух средних:

Mz (со) = ехр (/cow) ехр (/'cot') = Mu (Co)Ml, (со). (2.6.13)

Таким образом, характеристическая функция переменной Z равна произведению характеристических функций UnV. Чтобы найти pz{z), мы должны выполнить обратное преобразование Фурье функции Mz (w). Но результат обратного преобразования Фурье произведеиия двух функций равен свертке результатов их отдельных преобразований Фурье. Отсюда мы снова получаем знакомый результат, состоящий в том, что функция pz{z) равна свертке функций рц и pv. Это доказательство хорошо демонстрирует те упрощения, которые нередко оказываются возможными, если рассматривать характеристические функции вместо плотностей распределения.

В. Центральная предельная теорема

Основной теоремой, представляющей особую важность для нас в последующих приложениях статистики, является центральная предельная теорема. Мы сначала сформулируем эту теорему 40

Глава 1

в нужном нам виде, затем укажем на совокупность достаточных условий, которые гарантируют ее применимость, и, наконец, приведем интуитивное и нестрогое ее «доказательство».

Пусть Uі, U2, ..., Un— независимые случайные переменные с произвольными распределениями (не обязательно одинаковыми), имеющие средние значения H1, й2, ..., йп и дисперсии а|, ».., а2. Кроме того, пусть Z— случайная переменная, которая определяется следующим образом:

I A1 U, — а.

т ?-V" (2>6Л4)

у;

= 1

(заметим, что При любом п величина Z имеет нулевое среднее значение и единичное стандартное отклонение). Тогда при определенных условиях, которые часто встречаются на практике и указываются ниже, при стремлении числа случайных переменных п к бесконечности плотность распределения pz (г) стремится к гауссовской (нормальной) плотности:
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed