Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
и2 + V2 — 2puv "і
В I-и
Puv (и. V) = •
ехр
2(1 -Pii) а2
2яа2 V1 — P2
где
PA
(2.7.8)
(2.7.9)
Ha рис. 2.9 показаны контуры постоянной плотности распределения и плоскости (и, и) для случаев р = О, О < р < 1
в
P не. 2.9. Контуры постоянной плотности распределения в случае совместной гауссовской плотности с й = V = О,
O2u = O2v = O2 н а) р = 0;
б) О < р < 1; в) р « 1. 44
Глава 1
и р = 1. При увеличении коэффициента корреляции в положительном направлении плотность распределения переходит от круговой к эллиптической симметрии с главной осью вдоль прямой линии u = v. При отрицательных коэффициентах корреляции главная ось ориентирована вдоль прямой и = —v.
Б. Особые свойства гауссовских случайных переменных
Помимо того что гауссовские случайные переменные очень часто встречаются в практических задачах, они замечательны благодаря многим особым свойствам, позволяющим исключительно легко оперировать с ними. Мы рассмотрим здесь эти свойства, сопровождая их в большинстве случаев доказательствами по крайней мере интуитивного характера.
а. Две некоррелированные совместно гауссовские случайные переменные являются также и статистически независимыми. Как указывалось в § 4, п. Б, отсутствие корреляции далеко не всегда влечет за собой статистическую независимость. Но для совместно распределенных гауссовских случайных переменных указанные два свойства эквивалентны. Чтобы это продемонстрировать, положим коэффициент корреляции р в формуле (2.7.8) равным тождественно нулю; тогда совместная плотность распределения принимает вид
Paviu. V) = 1 2Jg j =
= vb"ехр С" S V^"ехр S=Ри {u) Pv {v)¦
Так как совместная плотность распределения распадается на произведение двух маргинальных плотностей распределения, переменные UnV являются независимыми.
б. Сумма двух статистически независимых совместно гауссовских случайных переменных сама является гауссовской случайной переменной. Предположим, что переменные UnV являются гауссовскими и независимыми с характеристическими функциями
Г оУ241
Mu(O) = ехр [/ШЙ--2 J '
Г ®Ч 1
Mv (га) = ехр [/гаи--J-J .
Пусть Z — сумма переменных U и V. Тогда в силу соотношения (2.6.13) имеем
Mz (га) = My (га) Mv (га) = ехр [/га (й + б) - (о*, + о»)]. Случайные переменные 45
Таким образом, величина Z является гауссовской случайной переменной CO Средним Значением (j + O И ДИСперСИеЙ (Гц -)- Oy.
в. Сумма двух зависимых коррелированных гауссовских случайных переменных сама является гауссовской случайной переменной. Пусть U и V — гауссовские случайные переменные с коэффициентом корреляции P=^O. Для простоты положим « = 0 = 0 и O2u = O2v = O2. Тогда
г M2 + V2 — 2р UV1
«р[- 2(1 -p»)g*. J
V) =-2яа2 V * P--•
Пусть Z — сумма переменных U и V. По формуле (2.6.3) получим
+ 00
Pz(2)= J Puv {z — v, v)dv =
— OO
+00 exDГ (*-*)2 +Q2-P2 і
= f _2 (I-P2)P2 J
J 2яа2 V — P2
dv.
Дополним далее до квадрата выражение в показателе экспоненты под знаком интеграла, что даст нам
ехр
Pz(z) =
2яа2 Vl-P2 -оо ^L (1-р)а2-1
2яа2 V — P2 L (I-P) <
Интеграл может быть преобразован к виду
ЄХР[-4(1+р) а2.
PzW= Л, /I T , ' (2.7.10)
V2n V2 (1 4- Р) а
Таким образом, переменная Z является гауссовской случайной переменной с нулевым средним значением и дисперсией
ст| = 2(1+р)а2. (2.7.11)
Если р->0, то о2,-*-2о2, тогда какприр->1 мы имеем O2z-*-Ao2.
г. Любая линейная комбинация совместно гауссовских случайных переменных (зависимых или независимых) является гауссовской случайной переменной. Пусть переменная Z определяется выражением
Z=?a/Jt,
і=і
где а, — известные постоянные, a Ui — совместно гауссовские переменные. Путем повторного применения результата (2.7.10) легко убедиться, что переменная Ui является гауссовской. 46
Глава 1
д.. Для совместно гауссовских случайных переменных Uu
U2.....Un совместные моменты порядков выше второго могут
быть выражены через моменты первого и второго порядков. Момент вида UpxUl ¦ ¦' ип может быть получен путем частного дифференцирования характеристической функции следующим образом [формула (2.4.23)]:
__1 дР+ч+ ¦¦• +к
Так как единственными параметрами, входящими в характеристическую функцию, являются средние значения и ковариации, момент (р + 9+ • •• +&)-го порядка может быть выражен через эти моменты первого и второго порядков.
Продифференцировав характеристическую функцию соответствующее число раз, можно доказать следующие основные свойства гауссовских случайных переменных с нулевым средним:
U1U2 ... u2k+, = 0,
UxU2 ... U2k=Y, (UjUmUlUf, . . . UqUs)і ф т, (2.7.12)
P 1фр
ЧФ S
где суммирование производится по всем возможным различным парным группировкам из 2А переменных. Можно показать, что существует (2k)\/2kk\ таких различных группировок. В наиболее важном случае k = 2 мы имеем
U1U2U3U4 = UlU2U3Ui + UlU3U2Ui + UlUiU2U3. (2.7.13)
Это соотношение называется теоремой о моментах для действительных гауссовских случайных переменных.
