Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
[ anC\z\, если n^O, P(S2a)[2n} = { r, (8.18)
V 9 1 J z , если n^O. V ' §8. Квантовые сферы и копредставления на них 511 Пусть Wr — подпространство в P(Sg), совпадающее с
Wr= E Ca'zj?k-
i+j+k^T
Из формул (8.6)-(8.8) вытекает, что Wr инвариантно относительно копредставления L алгебры P(SUg(2)), то есть
L: Wr P(SUq(2)) ®Wr.
Поскольку пространство Wr конечномерно, а конечномерные копредставления алгебры Хопфа P(SU11 (2)) вполне приводимы, то копредставление Lwr этой алгебры разлагается в прямую сумму неприводимых копредставлений. Чтобы найти, какие неприводимые копредставления содержатся в Lwr, найдем те элементы X Є Wr, для которых Е+х = 0. Из формул (8.10) и (8.13) вытекает, что такими элементами в Wr являются c?l, где с Є С и I = 0,1,2,... ,г. Поэтому Wr =
г
— ® Vi, где Vi — пространства неприводимых копредставле-
j=o
ний. Вследствие произвольности г получаем такое разложение алгебры P(Sg) в прямую сумму неприводимых подпространств:
OO
^(S2g) = (8.19)
j=o
Для Vo имеем Vo = С - I, где I — единица алгебры P(Sq).
8.3. Инвариантный интеграл на S2. Линейный функционал <р: P(Sg) —> С называют инвариантным интегралом на P(Sg), если для всех у є 9(Sg) имеем
(id ®ip)L(y) = I>ip(y). (8.20)
Функционал ір на P(Sq), задаваемый формулой
<p(I) = 1, <р(х) = 0 при X є Vi, l> 0, (8.21)
является инвариантным интегралом. 512 Глава 2,
Как и в п. 6.1, доказывается, что всякий инвариантный функционал ip на P(Sq) равен нулю на подпространствах P(Sq) [2mJ при т ф 0. Из формулы (8.20) также вытекает, что <р(Е+у) = 0 для всякого у є P(Sq). Положим у = Znа. Тогда из формул (8.10) и (8.13) выводим, что
q~1/2( 1 - q-x)E+(zna) = -(1 - q'2n~4)zn+1 + + (1- q-2n~2)(c - d)zn + (1- q-^cdz"-1.
Действуя на обе части этого равенства интегралом tp, получаем рекуррентное соотношение
(1 - q-2n~4)<p(zn+1) - (с - d)(l - q~2n~2)<p(zn) -
— cd(l — q~1)ip(zn~1) = 0.
Полодшв ip(I) = 1, отсюда находим, что
^n) =-C-V 1 » = 0,1,2,.... (8.22)
Таким образом, мы доказали такую теорему.
Теорема 1. На P(Sq) существует единый инвариантный интеграл tp, для которого <p(I) = 1. Этот интеграл за-нуляется на всех подпространствах P(Sq)[2m\, тфО. На Zn значение этого интеграла дается формулой .(8.22).
Как и в случае инвариантного интеграла на квантовой группе SLq(2), инвариантный интеграл <р из формулировки теоремы 1 можно представить с помощью д-интеграла. А именно, если F(z) Є С [2], q > 1, то
где при 0 < q < 1 g-интеграл на интервале (—d,c) определяется формулой
С С —<1
J F(z) dqz = J F(z) dqz- J F(z)dqz.
-d о о § 8. Квантовые сферы и копредставления на них 513
С помощью инвариантного интеграла <р вводится эрмитова форма (•, •) на P(Sg):
(х,у) = <р(ху*), х,у Є P(S2). (8.23)
Повторяя рассуждения п. 6.2, выводим такие утверждения:
1. Эрмитова форма (-, •) инвариантна относительно действия квантовой группы SUq(2), то есть
(Lx,Ly) = (х,у), х,у Є P(S2q). (8.24)
2. Подпространства VJ из формулы (8.19) взаимно ортогональны относительно эрмитовой формы {•, •).
3. Если числа cud такие, что cd ^ 0, (c,d) ф (0,0), то эрмитова форма {•, •) строго положительно определена.
При доказательстве третьего утверждения используются равенства
«'(«')* = q21 (Cd)1Wс; <P),(-z/d; q2),, P1(Pi)* = (cd)1 (q-2Zi/с; q-2)x(-q-2zld-, q~2)x. (8.25)
8.4. Сферические функции на S2. В подпространстве Vj алгебры P(Sg) существует единый базис е®, ш = —I, —1+1,... ,I, такой что = ?l и
Le?= Ytg ®ef, і =-I,-1 + 1,...,I, 3=-1
где tfj — матричные элементы копредставления Tj алгебры Хопфа P(SUq(2)) из п. 5.3. Элементы ef*, і = —I, —1 + 1,... ,1, называют сферическими функциями на квантовой сфере S2 =S2 (с, d). Вычисления показывают, что при 0 ^ г ^ I имеем
X i-r»-*d/щ ir'h-il'1, 514
а при —I ^ і ^ О
Глава 2,
Е(0 = (_c)J-«9(/+i)C-3«+3)/2
Г 21 }-1/2 I 1/2
I'+ iJg-* 1 + І ¦Г"2
ж (-92-2d/c; rt+ia-'P^-^z; c,d\q'2),
где P^a,b\x; с, d I q) — так называемые большие q-многочле-ны Якоби, выражаемые через базисные гипергеометрические функции:
Ptb)(*; c,d\q)=w2
(д-п,
V *
,а+Ь+п+1^ 9а+1жус
д
а+1
qa+1d/c
Покажем, что сферические функции е® удовлетворяют соотношению ортогональности
SlmSij-^-
1-а
1 -Q
,-2
4/-2
-1 і .E
Q-2 г=1
n(c+e-2rd)(9-2'c+d).
(8.26)
Для этого рассмотрим матрицу M = (rriij), где mij = e^). Поскольку эрмитова форма (•, •) удовлетворяет условию (8.24), то матрица M удовлетворяет соотношению TiM = MTm. Вследствие неприводимости копредставлений Ti и Tm имеем, что M = 0, если I ф тп, и матрица M кратна единичной матрице, если I = тп. Это доказывает соотношение (8.26) для (І, і) ф (m,j) и показывает независимость от г.
Выражение = = (?l,?l) определяется фор-
мулой (8.25):
(?l,?l) = M)V((<T2z/c; q-2)i(-q-2z/d-, q'2)i) =
(cdУ
j J(Q 2с; q 2)i(-q 2z/d-, q 2)idgz. -d
c + d
Этот интеграл вычисляется с помощью непосредственных вычислений, которые приводят к формуле (8.26). Библиография
