Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
а,- = [2/+1]-у, O11 = [21 +I^1q-2',
что доказывает теорему.
6.5. Преобразование Фурье на квантовой группе SUq (2). Вследствие формулы (5.31) и теоремы 3 матричные элементы tfj образуют полную ортонормированную систему в &(SUq(2)). Пусть F Є &(SUq(2)). Образуем числа
h(Ft$*)=FW, / = 0,|,1,|,... , (6.29)
Преобразование F —* {Fmn} называют преобразованием Фурье алгебры Хопфа 9(SUg(2)) (или преобразованием Фурье на квантовой группе SUq(2)). С помощью формулы (6.26) легко показать, что обратное преобразование имеет вид
F = 5> + 1]9 E T2iF^tV, (6.30)
І І,.J=-'
где первое суммирование ведется по всем значениям I. Более того, справедлива формула Планшереля
(F пя=Eim+ч« E Q-2iF^Wj- (6-31) і i,j=-i
Формулы (6.29)-(6.31) можно записать в матричной форме. Для этого вводим матрицы 7} = (t^), Ft = (F^p)1 д-след Tr9 для матрицы D = (dij)'iJ=_j с элементами из 9(SUq(2)):
і
TrqD =Yj q~2idii Є &(SUq(2)),
і=-I
и форму
(D,D')R,q = Tt4DD*. 504
Глава 2,
Тогда формулы (6.29)-(6.31) представляются в виде
KFTn = Fl, F = $>+ ^qTrq(FTl), і
(F,F')r = Y1V+lUFi,FDn,д. і
§ 7. Переход от SX9(2) к CZ9(Sl2)
7.1. Дифференциальная форма квантовой группы SLq(2). Конечномерной алгебре Ли 0 соответствует связная группа Ли G и, наоборот, каждой связной группе Ли соответствует алгебра Ли. Выше мы видели, что по квантовой алгебре Ug(Sl2) строится квантовая группа SLg(2). Покажем, как по квантовой группе SLq(2) построить алгебру Ug(Sl2)-
Пусть 9' — дуальное линейное пространство к пространству 9 = 9(SLq(2)), то есть пространство линейных функционалов на алгебре 9(SLq(2)). С помощью формулы
(<р ¦ ф)(х) = (tp® гр)А(х), Є 9', х є 9(SLg(2)), (7.1)
вводим в 9' операцию умножения, превращающую 9' в алгебру с единицей. Единицей в 9' является коединица алгебры 9. Используя формулу (7.1), легко проверить, что (<р ¦ ф) • Т) = = (р ¦ (ф • т]) для всех ір, "ф,т) Є 9', то есть алгебра 9' ассоциативна.
С помощью формул
* С SHi)-jslGSHJ) (7-3)
(имеется в виду поэлементное действие Е+, E- на а,
Ь, с, (I) вводим элементы k±l, Е+, E- алгебры 9'. Считаем, что к и к~х — гомоморфизмы из 9' в С, то есть к±х(ху) = = fc±x (х)к±х(у), а действие Е+ и E- распространяется на все элементы из 9 согласно формулам
Е±(ху) = Е±(х)к(у) + к'1 (х)Е±(у), Ezk(I) = 0, (7.4) согласующимся с коумножением в Ug(Sl2) (см- п. 2.1). §7. Переход от SLg(2) к Ug(Sl2) 505
Построенные элементы к±г, E+, E- удовлетворяют соотношениям
кк-1 = к~гк = 1, кЕ±к~г = q±E±, (7.5)
[Е+,Е-\ = Е+Е- -E-E+= fc2 ~ fc~2 (7.6)
q-q 1
(см. п. 2.1). Проверим выполнение соотношения (7.6). Остальные соотношения проверяются аналогично. Для этого с помощью равенства (7.4) проверяем, что как tp = Е+Е_ — E-E+, так и ip = (к2 — k~2)/(q — q~x) удовлетворяют соотношению
<р(ху) = tp(x)k2(y) + k~2(x)tp(y), х,у?
Поэтому выполнение равенства (7.6) достаточно проверить на элементах а, Ь, с, d алгебры Эта проверка производится с помощью формул (7.2) и (7.3).
Теперь строим в подалгебру с единицей, порожденную элементами к±х, E+, E-. Построенная ассоциативная алгебра Ug изоморфна алгебре Ug(sl2) из п. 2.1. Вводим в эту подалгебру структуру алгебры Хопфа. А именно, коумножение Au определяем формулами
Аи(к±) = к± ® к±, Аи(Е±) = Е±®к + к~1 ®Е±, (7.7)
а антипод и коединицу — формулами
Suik*) = к*, Su(E+) = -qE+, Su(E-) =-q-xE-,
(7.8)
єи(к±) = 1, Eu(Kt) = 0. (7.9)
При этом для всех tp и ф из построенной алгебры и всех X, у Є 9 = 9(SLg(2)) имеем
(tp ¦ ф)(х) = (<р ® -ф)А(х), 1[/(ж) = е(х), Au (tp) (х® у)= tp(xy), Eu (tp) = Ifi(I), Su(V)(X) = tp(S(x)),
где Д, S, є, I — соответственно коумножение, антипод, ко-единица и единица в 9(SLg(2)), а 1 и — единица в Ug.
Построенная алгебра Хопфа Ug изоморфна алгебре Хопфа Ug(sl2). Поэтому будем обозначать ее также через U4(Si2). 506 Глава 2,
7.2. Дифференциальная форма копредставлений.
В предыдущем пункте показано, как перейти от квантовой группы SLq(2) к квантовой алгебре Uq(Sl2)- Покажем, как перейти от копредставлений алгебры Хопфа S-(SLq(2)) к представлениям квантовой алгебры Uq(sl2). Пусть L — левое копредставление алгебры Хопфа 9 = 9(SLg(2)) в пространстве V, то есть пусть задано отображение L: V -? 9 ® V. Тогда каждому (р Є Uq ~ Uq(Sl2) соответствует оператор РЛ((р) в V, определяемый формулой
Щ<р)(е) = (V ® idv)i(e), е Є V, (7.10)
где idy — единичный оператор на V- С помощью этой формулы легко показать, что отображение S?: Ug —» Lin V (где Lin V — пространство линейных отображений из V в V) линейно и антигомоморфно, то есть Ш(<р • ф) = З1.(ф)$&.(ф). Это означает, что определяет правое представление алгебры Ug(sl2), то есть представление, в котором операторы действуют на векторы справа:
еЩір ¦ ф) = еЩф)Щір), е Є V.
Если задано правое копредставление R: V V ® 9 алгебры Хопфа 9(SLq(2)), то формула
-^Ы(е) = (idy ® <p)R{e), є Є V,
определяет левое представление SS алгебры Uq ~ Uq(sl2):
5Є(ч> ¦ ф)е = 5?(ф)5Є(ф)е.
Если V = a L и R — соответственно левое и правое регулярные копредставления алгебры Хопфа 9 = 9(SLg(2)), то для SP. и Ь? имеем
