Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
m<Pm-i(ai,¦ ¦ ¦ ,Om; bi,... ,6m_і; q,x) =
_ (oi; g)«-("ml g)n Xn (?; q)n.-• (bm-i; g)n (g; q)n'
(Их свойства можно найти, например, в [14].) Так как
, -п n , Ч (с/д; g)n 2^1 (a, q ; с; g, q с/а) = —-г—
(с; q)n
(см., например, [14]), то
Ir = (-q)r
l + i i-j
„-» (?-2; 9-2)r(g-2(i_i+1); <Г2)Г
Теперь для Щ получаем выражение
tgl = fi + i
-Jir*
Переходя К , имеем
X 2Ф1 (g2(,+j), ; g^"-1); ^2,9? (5.24)
где C = -gbc, і + j ^ 0, і >
Поскольку —I — j — отрицательное целое число, то базисный гипергеометрический ряд в (5.24) обрывается. Такие ряды выражаются через так называемые малые q-многонлены Якоби, задаваемые формулой
рп(х; a,b\q) = црх(g_n,a6gn+1; og; q,qx) 492 Глава 2,
(свойства этих многочленов см. в [14]). Поэтому формулу (5.24) можно записать в виде
«!? = A^a-'-V-WC; q-2(i-j\q2(i+j | q~\ (5.25) где і + j $ 0, г ^ j и
N1 = а~V+Ли-а R + iI1/2 Г' - Л1/2
Аналогично выводим, что
tg> = TVji0-i^V-Wi(С; I 9_2)j (5.26)
если г + J $ 0, j > і,
tj? = *iif-ift-i(C; ?-20"0,9"2(i+i) I Q-2W-i^i, (5.27) если г + J ^ 0, J ^ г, и
tg> = NLit-OH-i{С; I (5.28)
если г + 0, г ^ j.
Из выражений для матричных элементов tg' вытекает, что _
tg* = ^-2,-,-2^^(0 = fffi 0Є-2І.-2І, (5-29)
где jF® и ^0 лежат в #[0,0] = С [С]- Отсюда и из разложения (5.7) выводим, что при фиксированном I матричные элементы tg', —I ^ i,j <С {, линейно независимы. Как видно из формул (5.26)-(5.29), функции F^ имеют степени і — max(|t|, |j'|). Поэтому функции
JFj0, i = max(|j|,|i|)+n, n = 0,1,2,... ,
составляют базис пространства #[0,0] = С [С]. Отсюда и из формул (5.13) и (5.29) вытекает, что
OO
#[—2г, —2j] = ф Ctg?. (5.30)
(=max(|t|,|j|) §5. Представления квантовой группы SLq(2)
493
Л следовательно,
9 = nSLq(2)) = ф С tjf = ф Wh (5.31) Ш I
где Wi = 0 — пространство, в котором реализуются как і J
правое, так н левое копредставления Tf и Tf алгебры Хопфа &(SLq( 2)).
5.4. Неприводимость копредставлений Tj. Матричные копредставления T = (tm„) и R= (гтп) алгебры Хопфа эквивалентны, если существует обратимая матрица В, такая что B(tmn) = (rmn)B. Матричное копредставление T = (tmn) алгебры Хопфа неприводимо, если не существует матричного копредставления R этой алгебры вида (0 с )' где А, В, С — матричные блоки с А ф О, С ф 0, эквивалентного копредставлению Т.
Пусть Ti = (tmn) — рассмотренное выше матричное копредставление алгебры Хопфа 9 = 9(SLq(2)). Ясно, что если бы существовало другое матричное копредставление й = (дс) алгебры 9, эквивалентное T1, то из R = B-1TtB вытекала бы линейная зависимость матричных элементов —/ ^ i, j ^ /. Поскольку, как показано выше, эти матричные элементы линейно независимы, то копредставление Tj = (t\'J) неприводимо. Таким образом, копредставления Tf и Tf квантовой алгебры 9(SLq(2)) неприводимы.
Копредставления Tf и Tf имеют размерность 21 +1, поскольку их пространства имеют столько базисных элементов. Неприводимые копредставления различных размерностей не могут быть эквивалентными. Поэтому копредставления Tf, Z = 0, і, 1,..(соответственно копредставления Tf, I = 0, і, 1,...) попарно неэквивалентны. Можно показать (см. [76]), что любое конечномерное левое (правое) копредставление алгебры Хопфа 9(SLq(2)) эквивалентно одному из этих копредставлений. 494 Глава 2,
§ 6. Анализ на квантовой группе SUq(2)
6.1. Инвариантный интеграл на SUq (2). Пусть А — алгебра Хопфа, введенная в п. 1.2, которая является алгеброй функций на группе G. Левоинвариантный интеграл на группе G является левоинвариантным функционалом <р на А, таким что
V(/) = J.f(g) dg= J f(gog) dg, f Є А.
G G
Это равенство можно записать с помощью операции коумно-жения:
(id® <р) о A{f) =?(/)-1, (6.1)
где I — единичная функция из А.
Аналогично вводятся инвариантные интегралы на алгебре Хопфа 9 = 9(SLq(2)). Левоинвариантный (правоинвари-антный) интеграл на 9 — это линейный функционал h, удовлетворяющий равенству
((id ® h) о А)(х) = h(x)I, хе 9, (6.2)
для левоинвариантного и равенству
((/і ® id) о А)(х) = h(x)I, хЄ 9, (6.3)
для правоинвардіантного интегралов. Здесь через I обозначен единичный элемент алгебры 9. Линейный функционал, который одновременно является левоинвариантным и правоин-вариантным интегралом, называется инвариантным интегралом.
Пусть h — линейный функционал на 9, такой что
h(C) = h(I) = l и h(t\')) = О, Z > 0. (6.4)
С помощью формул (6.2) и (6.3) легко проверить, что этот функционал является инвариантным интегралом на 9.
Пусть теперь ф — произвольный инвариантный интеграл на 9, такой что 'ф(І) = 1. Тогда с помощью операций Lk и Rk (см. п. 5.1) из равенства
((id ® V) о А){х) = ф(х)1, ((ф ® id) о А)(х) = ф(х)1 (6.5) § 6. Анализ на квантовой группе 517,(2) 495
получаем, что при х Є 9[т, п] справедливы равенства
ф(х)1 = Zm • ф(х), Тр(х)1 = Тр(х) • zn.
Таким образом, ф(х) = 0 для всех х Є 9\рі,ті\, (m,n) ф (0,0). Теперь покажем, что
Пусть P-. 9 ^[0,0] — проекция, определенная разложением (5.7). Тогда с помощью формул (4.4), (4.5), (4.19) и (4.20) находим, что
