Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Щ<р)(х) = (<р® id<?)A(x), X Є (7.11)
Se(<p){x) = (\dg:®ip)A{x), X Є 9. (7.12)
При этом, как легко проверить, для всех ip EUg выполняются равенства
Д о Щф) = (Щф) ® id^r) о Д, До %(ip) = (id^ ® %(ф)) о Д.
(7.13) §7. Переход от SLg(2) к Ug(Sl2) 507
Их называют соответственно правой и левой инвариантнос-тями.
Ниже рассматриваем только операторы ?Л(<р), ip Є Uq, и обозначаем их через ф. Ясно, что
Ё±(ху) = E±(x)k(y) + к-Чх)Е±(у), Ё±(1) = 0. (7.14) ' (і)
Пусть V11 = ф Cei' — подпространство в введенное i=-i
в п. 5.2. Тогда
і
Правое действие элементов ір Є Uq на V11 определяется формулой
я«!0) = E^M0- (7-15)
з
Ясно, что матрица tpi оператора ф в подпространстве Vf имеет такой вид: tpi = (y?(fy ))' J=_,. Выбрав вместо Vf подпространство Wfc, натянутое на базисные элементы tfj, і = —I, —I + 1,... , l, получим формулу
^) = ^(0^ (7.16)
j
то есть в VtL и Wir операторы (р задаются одинаковыми матрицами (что является следствием инвариантности (7.13)).
С помощью выражений для е® (см. п. 5.2), формул (7.2) и (7.3) и соотношения (7.14) непосредственно вычисляется действие операторов к, к'1, Е+, E- на векторы е®:
M0 = 9-Ч°; ?-4'We!0,
Ё+е? = q-Wil + i + W-iktln Ё-е1'] = qi+1 + +
Сравнивая эти формулы с формулами (2.22)-(2.24), видим, что представление (7.15) алгебры Uq = Uq(sl2) эквивалентно представлению Tj, построенному в п. 2.3. 508 Глава 2,
§ 8. Квантовые сферы
и копредставления на них
8.1. Алгебры функций на квантовых сферах. Как
и в случае квантовых групп, квантовые сферы определяются алгебрами функций на них. Пусть с и d — фиксированные вещественные числа. Им ставится в соответствие двумерная квантовая сфера S2 = S2(с, d). Алгебра функций на ней P(Sq) порождается тремя элементами a, z a?, удовлетворяющими соотношениям
za = q~2az, ?z = q~2z?, (8.1)
q^a?= -(с- z) (d + z), q^?a = -(c - q~2z)(d + q~2z).
(8.2)
Таким образом, P(Sq) состоит из конечных линейных комбинаций произведений элементов a, z и ? с комплексными коэффициентами. Формулы
а* = -q?, ?* = —q~~xa, z* = z (8.3)
определяют »-структуру на алгебре P(Sq). Действие »-операции на элементы у Є P(Sq) распространяется путем рассмотрения этой операции как антилинейного антигомоморфизма на алгебре 9[S2).
Определим левое квазирегулярное копредставление алгебры Хопфа P(SUq(2)) (то есть левое квазирегулярное представление квантовой группы SUq(2)) на P(Sq)). Для этого необходимо определить гомоморфизм
L: P(S2q) -+ 9(SUq(2)) ® P(S2q),
для чего достаточно задать его на элементах a, z и ?. Вводим элементы
е_! = а, е0 = (l+<T2)-1/2(c-d- (l+q~2)z), Є! = ?, (8.4)
на которых должно действовать неприводимое матричное копредставление T1 = (t\p) алгебры Хопфа P(SUq(2)). Это ко- § 8. Квантовые сферы и копредставления на них 509
представление, как вытекает из формул п. 5.3, имеет вид
/ a2 q'ab Ъ2 \
T1 = (?^).-,,-=-1,0,1 = q'ac 1 + (9 + Q-1Jbc q'bd , (8.5) V с2 q'cd d2 )
где q' := (1 + g-2)1/2. Квазирегулярное копредставление L задается формулой
J fe-x\ . (е-Л
L eo = T1 ® eo
1 {ex) ' {ex
где с правой стороны стоит матричная запись формул
Le-x = а2® е_! + (1 + q'2)1/2ab ® е0 + b2 ® еь (8.6) Le0 = (1 + q~2)lf2ac ® е-х +
+ (1 + (9 + q~x)bc} ® е0 + (1 + q~2)1/2bd ® els (8.7)
Xe1 = с2 ® e_i + (1 + q"2)1/2cd ®e0+d2 ®ех- (8.8)
Так же как в п. 7.2, на P(Sq) можно определить соответствующее действие квантовой алгебры Uq ~ Uq(sl2). А именно, элементу X Є Ug(sl2) ставим в соответствие оператор х: P(Sq) -»¦ P(Sq), определяемый формулой
X = (х ® id) о L. (8.9)
С помощью формул (8.6)-(8.8) находим, что
E+a = q1/2{c-d-(l + q-2)z}, E+z=-qx'2?, Ё+? = О,
(8.10)
Ё-а = О, E-Z ^q1'2а, Ё-? = q1'2{с - d - (1 + q~2)z},
(8.11)
ka = q~xa, kz = z, k? = q?. (8.12)
Оператор k является автоморфизмом алгебры P(S2). Для операторов Е+ и E- имеем
Ё±(ху) =Ё± (x)k(y) + к~1(х)Ё±(у), х,уе P(S2). (8.13) 510 Глава 2,
С помощью приведенных формул легко показать, что если (c,d) = (1,0), то алгебра 9(Sq) вместе со структурой копредставления для 9(SUq(2)) изоморфна подалгеб-
OO
ре ф #[2ш,0] алгебры S:(SUq(2)), состоящей из ин-
т=—оо
вариантных справа относительно квантовой подгруппы К (см. п. 5.1) функций. В этом понимании квантовую сферу S2(IjO) отождествляют с квантовым однородным пространством SUq(2)/K.
8.2. Разложение алгебры 3(S2). В п. 5.1 мы ввели гомоморфизм алгебр Хопфа ірк: 3(SLq(2)) —> 9(К). С его помощью по аналогии с формулой (5.2) зададим гомоморфизм 9(Sq) 9(К) ® 9(Sg), определяемый формулой
Lk = (Фк ® id) о L, (8.14)
где L — определенное выше копредставление алгебры 9(SUg(2)). Теперь для каждого четного числа п введем подпространства
&{S2g)[и] = {ж Є P(S2q) I Lx = zn® x}, (8.15)
где z — элемент алгебры Хопфа 3-(К). Повторяя рассуждения п. 5.1, получаем
П^д)[т] ¦ &(S2q)[n] С &(S2g)[m + п], (8.16)
OO
nS2)= 0 nS2g)[2m]. (8.17)
В частности,
ze9(S2q)[0], а Є #(<?*)[2], ? Є 9(Sg)[—2],
Подпространство 9(S2)[0] совпадает с кольцом C[z] многочленов от одной переменной z Є P(Sq). Для #(S2)[2n], neZ, получаем
