Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
(id ® Р) о Д(С") = Y
i+j=n
Q2ijCHb q2h®СЧд'Ч; я~2Ъ,
где (a; q)m определено в п. 4.4. Поэтому первая из формул (6.5) предполагает, что
ЯП-1= Y [if W(Gea)IbKV2C; Q-2W-
Это есть равенство многочленов от ? = —qbc. Приравнивая коэффициенты при ?, получаем рекуррентную формулу
1 — я-2"
Mn) = J2^HC-1), »>1.
Поскольку ip(I) = 1, то отсюда вытекает равенство (6.6).
Из (6.6) и из того, что ip(x) = 0 при X є 9[тп, n], (тп, п) ф (0,0), выводим, что инвариантный интеграл единственен. Таким образом, мы доказали такую теорему.
Теорема 1. На 9 существует единственный инвариантный интеграл h, такой что h(I) = 1. Этот интеграл задается формулой (6.4). На одночленах п = 0,1,2,..., он принимает значения (6.6).
Из формулы (4.11) вытекает, что
S: 9[тп, п] ->¦ 91—ті, -m], 5(0 = С- 496 Глава 2,
Поэтому для всех X Є & имеем
h(S(x)) = h(x). (6.7)
Если q Є К, то точно так же из равенств
С = С, п]* = -п]
вытекает, что
h(x*) = h(x). (6.8)
В теории алгебр Хопфа (см., например, [68]) доказывается, что если на алгебре Хопфа существует левоинвариантный (правоинвариантный) интеграл, то каждое ее левое (правое) конечномерное копредставление вполне приводимо. Таким образом, каждое конечномерное левое (правое) копредставление алгебры Хопфа ?(SLq(2)) вполне приводимо.
Заметим, что в «/-анализе вводится «/-интеграл, являющийся обратной операцией к (/-дифференцированию
DJ(X) = IM^lM.
qj v ' qx — X
Этот «/-интеграл задается формулой
tL OO OO
/ f(x)dgX = r:(l - q) ? qrf(qrc) = - жг+і)/(жг),
Q r=0 r=0
где xr = cif и О < q < 1. Отсюда вытекает, что инвариантный интеграл h из теоремы 1 можно представить с помощью (/-интеграла. А именно, если / є С [С], то
Г
h(f) = / ДО dq-2С = (1 - q-2) Y <r2jf(<r2j), (6.9) о і=0
если q > 1, И
Г
Hf) = / /(Q2C) dfC = (1 - q2) ? q2jf(<?j+% (6.10) о і=0
если О < q < 1. § 6. Анализ на квантовой группе 517,(2) 497
6.2. Скалярное произведение на &(SLQ(2)). Формула
(а Ь\ _ f(]2 а Ъ \ Т \с d) с q-Ч)
определяет автоморфизм алгебры Хопфа S- = &(SLg(2)). В частности,
т(ж) = 9(го+п)ж, если і?%п]. (6.11)
Пусть h — инвариантный интеграл на 9 из теоремы 1. Покажем, что для всех ж, у Є 3 имеем
h{xy) = /г(т(у)ж). (6.12)
Для этого определим билинейное отображение F: 3 х # -»• С, задаваемое формулой
F(.t, у) = /»(а*) - Цт(у)х). (6.13)
Непосредственно проверяется, что F удовлетворяет равенству
F(x,yz) = F(aj/, z) + F(r(z)x,y). (6.14)
Из (6.13) и (6.14) вытекает, что если равенство (6.12) выполняется для у = a,b,c,d, то оно выполняется для всех у Є 9. Проверим его для у = а. Поскольку а Є #[1,1] и h(x) = О для X Є 3[тп, п], (тп,п) ф (0,0), то достаточно рассмотреть случай, когда х Є #[—1,—1]. Пусть х = d, п = 0,1,2,... Тогда
жв = Сп(1-'Г2С), аж = Q2n+2Cn(l - Cj и равенство (6.12) для h(xy) эквивалентно соотношению
h(e(l-q-2Q)=q2n+2h(e(l-Q).
Справедливость этого соотношения вытекает из формулы (6.6). Подобным образом равенство (6.12) доказывается для у = Ь, с, d, что завершает его доказательство.
Дальше в этом параграфе рассматриваем алгебру Хопфа &(SUg(2)). Инвариантный интеграл h и автоморфизм г 498 Глава 2,
являются соответственно инвариантным интегралом и автоморфизмом этой *-алгебры Хопфа. Введем на 9(SUg(2)) эрмитовы формы
(x,y}R = h(xy*), {x,y)L = h(x*y). (6.15)
Очевидно, что
{xz,y)R = (x,yz*)R, (ZX,у) L = (x,z*y)L. (6.16)
Согласно формуле (6.12),
(x,y)L = (r{y),x)R. (6.17)
Ясно, что если X Є .^r[то, п], у є 9[r,s] и (т,п) ф (r,s), то
= (x,y)L = 0.
Другими словами, разложение (5.7) для алгебры 9(SLg(2)) (а поэтому и для алгебры 9(SUg(2))) ортогонально относительно эрмитовых форм (6.15). Пусть
Ж = /і(С)егоп, У = /2(С)Єттг-
Тогда
(®,І/>Я = Л(/і(С)ФтВ(С)/2(С)*), Фтп(С) = Єт„Є^„. (6.18)
Используя формулы (4.19), (4.20) и (5.9)-(5.12), нетрудно подсчитать, что
Фтп(С) = g(n-m)(2-m-n)/2C(n-№)/2(C,Q2)(m+n)/2, если то + п ^ 0, m Sj п,
Фтп(С) = С(т-п)/2('Г2С,'Г2)(т+„)/2,
если т + n ^ 0, т ^ п,
Фт»(0 = С(т-п)/2('Г2С,9-2)-(т+„)/2,
если то + n^O, т^п, и
*m»(0 = 9(m-n)/2C("-,n)/2(9-2C,9-2)-(m+n)/2, § 6. Анализ на квантовой группе 517,(2) 499
если т + п ^ 0, m ^ п. Отсюда, из выражений (6.9) и (6.10) для h(f) и из того, что не существует ненулевого многочле-на /(С) Є С [С], такого что /(</*) = 0 для всех неотрицательных к, вытекает, что {x,x)r > 0 для всех хфО. Другими словами, эрмитовы формы (•, -)д и (•, -)ь строго положительно определены на 9(SUg(2)). Выбираем их в качестве скалярного произведения на 9(SUg(2)).
С помощью формулы (6.6) находим, что
МПС; = ^(g'2;g"?f(r2;f)g(g"2;9"2)l,
(ч ; ч )r+«+i
(6.19)
кая^ rt) = (</"2;9"?f(fL;:2)8(</"2;^ (6-2°)
(9 ;? )г+я+і
где (a; q)n определено в п. 4.4.
6.3. Унитарные представления квантовой группы SUq(2). Пусть Tl — левое конечномерное копредставление алгебры Хопфа 9(SUg(2)) в пространстве V со скалярным произведением (•, •), антилинейным по второму аргументу. Имеем Tl'-V-+ &(SUg(2)) ® V. Расширяем (-,•) до формы {•, отображающей
