Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
9[т, n] = {х Є 91 Іа-(х) = zm ® х, Rk(x) = х® zn). (5.3)
Мы имеем Lk{o) = z ® a, Rk(а) = а ® z, то есть а Є #[1,1]. Подобным образом показывается, что
6 Є #[1,-1], с Є #[-1,1], d Є #[-1,-1].
Поскольку Lk и Rk — гомоморфизмы, То
#[т, п] • #[р, г] С #[т + р, n + г]. (5.4)
Таким образом, для базисных элементов (4.21) алгебры # имеем
J^dr €#[p-i-r,Z-p-r], (5.5)
Or^pCi Є #[r +p — l,r +1 — р]. (5.6) § 5. Представления квантовой группы SL9(Z) 487 Отсюда выводим, что
9 = 9(SLq(2)) = ф 9[т,п]. (5.7)
m, n€Z
Из (5.5)-(5.7) также вытекает, что ^[0,0] состоит из линейных комбинаций элементов bmcm, m = 0,1,2,____Это утверждение записывается в виде
^[0,0] =C [С], где С = -Qbc. (5.8)
Здесь С [С] — пространство многочленов от С, а множитель — q взят для удобства. Формулы
етп = a(™+»)/2c(n-m>/2, где т + п^0, т^п, (5.9)
етп = а("'+")/2Ь('»-«)/2) где т + п^0, т^п, (5.10)
emn = ft(m-n)/ad(-n-m)/a) где m + n^o, m>n, (5.11)
emn = c(n-m)/2d(-n-m)/2j где m + „ ^ 0, Ш ^ П, (5.12)
определяют элементы em„ Є 9[m,ri\. Из того, что элементы (4.21) образуют базис алгебры 9, вытекает, что если т= n(mod 2), то
9[т, ті] = C[C]emn = ет„С[С], (5.13)
где С [С] определяется формулой (5.8). Если m ф n(mod 2), то 9[т,п] =0.
5.2. Конечномерные непредставления алгебры Хопфа 9. Согласно определения копредставлений алгебр Хопфа (см. п. 1.5), операция коумножения Д •. 9 ^ 9 ® 9 определяет как левое, так и правое копредставления алгебры Хопфа 9 = 9(SLq(2)). Их называют соответственно правым и левым регулярными представлениями квантовой группы SLg(2). Эти копредставления приводимы и, как увидим ниже, разлагаются в прямую сумму конечномерных неприводимых копредставлений. Построим эти неприводимые копредставления. Для этого вводим в 9 подпространства
^=ф<Се<'\ У*=фС/<'\ (5.14) 488 Глава 2,
где I — целое или полуцелое неотрицательное число и элементы е? и fj® задаются формулами
'-[."С—КС™ <->
Из формулы (4.24) вытекает, что коумножение А отображает Vf в А ® V,L :
AIVIL^ A ®V,L. (5.17)
Аналогично,
Д: VR VR ® А. (5.18)
Таким образом, формулы (5.17) и (5.18) определяют конечномерные левое и правое копредставления Tf и Tr алгебры Хопфа & = &(SLg(2)), которые являются подкопредставлениями соответствующих регулярных копредставлений. Копредставления T11, и Tr называют представлениями квантовой группы SLq(2).
Записываем действие коумножения Д на базисные элементы е^Р пространства VJi в виде
A(e®) = Iftei0)= ? <5Л9)
i=-i
Элементы tj'j Є & называют матричными элементами представления Tji квантовой группы SLq(2). Применяя обе части равенства (Д ® id) о Д = (id ® Д) о Д к е-'', получаем соотношение
A ($)=?«??®*В (5.20)
Jfe=-I
(см. п. 1.5). С помощью соотношения (e<g>id)o Д = id выводим, что
= Sij. (5.21) §5. Представления квантовой группы SL4(2) 489
Поскольку е(Р є &[—2г, 2/], то из формул (5.1) и (5.3) вы-
текает. что
ef ® Za = t^L, ® Z2'.
Поэтому
е|'>=Єг (5-22)
Поскольку а2' = е^', то из формулы (4.22) получаем
' Г oi I1/2
А<еЗ>=Е і-,- a'~ib'+i|
i=-J L jJ в-2
Сравнивая это равенство с (5.19) и используя (5.16), находим
Sf =t%y (5.23)
Из последнего равенства и из (5.20) выводим, что
і
I
i=-l
A (/f) = IfuP) = ? /f в t«, 3 = -1,-1 + 1,..., і.
Таким образом, копредставления Tjt и Т,й соответственно в базисах (5.15) и (5.16) задаются одной и той же матрицей. Соответствующее матричное копредставление обозначаем че-резГ,:= (ф.
Теперь покажем, что t\lJ Є &[—2і, —2j]. Для этого заметим, что, как вытекает из определения оператора Lk, на каждом подпространстве 9[т, п] выполняется равенство
(Lk ® id) о Д = (id ® А) о Lk-
Но тогда вследствие разложения (5.7) это равенство справедливо на всей алгебре Хопфа С его помощью находим
(Lk ® id) о Д(е?}) = г"2'" ® A(ef) = ?V2< ® tg} ® ef.
з
Кроме того, используя равенство (5.19), получаем (Lk ® id) о Д(в«) = Y LK(tV) ® ef. 490 Глава 2,
Поэтому
Таким же образом доказывается, что
RKitfS) = 4J
Следовательно, t\j Є — 2j].
5.3. Вычисление матричных элементов. Поскольку базисные элементы пространства VJi копредставления Tji кратны элементам а'-,с,+1, то матричные элементы вычисляются с помощью формулы (4.24). Пусть г+j^O и г ^ j. Применяя к выражению соотноше-
ние (4.20), получаем, что множитель при a'~Jc<+-' в формуле (4.20) имеет вид
(с точностью до числового множителя совпадает с
Переходя от суммирования по fc к суммированию по r = = р + fc, мы сводим это выражение к
Пусть Ir обозначает сумму по р в правой части этой формулы. Перегруппировав члены в g-биномиальных коэффициентах, получаем, что
Ir =
=\r92M(M+i-j)-2(i+i)r+r2 р-Л Г 1+г 1 p+i-pl
P L Jg-^Jg-2L ^ ^ Jqi-2
_Vo2"(M+i-i)-2(J+i)r+r2 Г/-І] Г * + » ] R-i + r] § 5. Представления квантовой группы Sie(2) 491
Записав g-биномиальные коэффициенты согласно формуле (4.17), сводим эту сумму к так называемой базисной гипергеометрической функции Базисные гипергеометрические функции определяются формулой
