Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
(9(SUq(2)) ® V) X (9{SUg(2)) ® V) в &(SUg{2)),
положив
{ж ® ?, у ® V}R = ху*{?, V), х,уе &(SUg{2)), п Є V.
(6.21)
Копредставление Tl алгебры Хопфа 9(SUg(2)) называют унитарным, если для всех ?,v Є V имеем
{Ть(аЗШЬ = /-(С,ч), (6-22)
где I — единица из 9(SUg(2)).
Пусть Єі, г = 1,2,... , I, — ортонормированный базис пространства V, a T = (UjYiJ=I — матрица копредставления Tl в этом базисе, то есть
і
Ть(єі) ~ Tjij ® Cj. і=і 500
Глава 2,
Вычисляя с помощью формулы (6.22) выражение {Ть(єі),Ть(єл)}д, приходим к заключению, что
і
Y t^ik = SirI, ІЄ &(SUq(2)). (6.23)
fc=i
Таким образом, унитарность левого конечномерного копредставления ti алгебры Хопфа 9(SUq(2)) эквивалентна условию TT* = 1, где Т* = ((Tt)ij) := (^iYiJ=I- Нетрудно показать, что это условие эквивалентно условию Т*Т = 1. Оно также эквивалентно условию tj- = S(tji).
Аналогично определяется унитарность правого конечномерного копредставления Tr алгебры Хопфа 9(SUq(2)) в пространстве V со скалярным произведением (•, •), антилинейным по первому аргументу. В этом случае вместо формулы (6.21) форму {•,•}.!, определяют формулой
{?®х,т)®у}ь = (?,Ф'у, x,ye9(SUg(2)), Є F.
(6.24)
Условие унитарности заменяется на
{Тк(0,Тк(17)Ь = (64)-7. (6.25)
Теорема 2. Каждое конечномерное подкопредставле-ние левого (правого) регулярного копредставления алгебры Хопфа 9(SUq(2)) унитарно относительно эрмитовой формы {-, •}/{ (соответственно относительно эрмитовой формы (-,-b)-
Доказательство. Пусть tt — лёвое конечномерное копредставление алгебры Хопфа 9(SUq(2)) в подпространстве V С 9(SUq(2)), а а, г = 1,2,... , I, — базис в V. Пусть
(
TL(ei) = А(е>) = YtH ® eJ-і=і
Тогда согласно формуле (6.21) имеем
і і
{TL(ei),TL(ej)}R= Y М;8(ег,е8)я = Y UrfjMere*).
Г, S=I Г,S = I § 6. Анализ на квантовой группе 517,(2)
501
Последнее выражение равно (id ® /і)Д(е,-ер. Согласно определения инвариантного интеграла h эта величина совпадает С I ¦ (ei,?j)n, то есть
{TL(ei),TL(ej)}и = I ¦ (єі,ЄІ)к.
Подобным образом теорема доказывается для правых копредставлений.
Поскольку каждое неприводимое правое (левое) копредставление алгебры Хопфа 9(SUq(2)) эквивалентно копред-ставлению в подпространстве VtR С 9(SUq(2)) (в подпространстве Ць С 9(SUq(2))) при некотором I, то каждое такое копредставление унитаризуется (то есть эквивалентно правому (левому) копредставлению).
6.4. Аналог теоремы Петера-Вейля. При доказательстве аналога теоремы Петера —Вейля для квантовой группы SUq(2) используется следующая лемма.
Лемма 1. Пусть Ti = (tmn) — матрица конечномерного неприводимого копредставления алгебры Хопфа 9(SUq(2)) из п. 5.2, a M — постоянная числовая матрица размерности (21 + 1) X (2k + 1). Пусть
M = Ii(TlMTZ), M' = H(TiMTk),
где h — инвариантный функционал на 9(SUg(2)), который применяется к каждому матричному элементу отдельно. Тогда M и M' — нулевые матрицы, если I ф к, и M = с • I, M' = с' ¦ I, где I — единичная матрица и с, с' Є С, если I = к.
Доказательство. Докажем лемму для матрицы М. Для M' доказательство аналогично. Покажем, что M сплетает представления Tj и T*, то есть что TjM = MTie. Для этого матрицу Ti® I обозначаем через Tw, а матрицу — I ® Ti через Tw. Из определения инвариантного интеграла h вытекает, что
TlMTfc* = (id® WT1wTjf4 Мт\к)*т[к)*) =
= (id ® h)(T[l)T^l) M (т[к) T^)') =
= ((id ® К) о Д) (T1MTfc*) = H(TiMTZ) = М, 502
Глава 2,
то есть TiM = MTk, поскольку копредставление Tk унитарно. Теперь для доказательства леммы достаточно применить лемму Шура, которая остается верной для конечномерных ко-представлений алгебр Хопфа. Лемма доказана.
Теорема 3. Матричные элементы tJii1I неприводимых копредставлений алгебры Хопфа S-(SUq(2)) удовлетворяют условию ортогональности
GffnA)* = + 1 frVnfcl'«mm'A»»', (6.26)
(Є, €Ь)ь = [2/ + 1 ^1q-3mSwSmmlSnn.. (6.27)
Доказательство. Пусть Eij — матрица размерности (21 + 1) X (2k + 1) с единицей на пересечении і-й строки и j-го столбца и с нулями на остальных местах. Образуем матрицу Eij, как указано в формулировке леммы 1. Тогда
(Eij)rs = h(t«tg>-) = <t«iS>>*.
Согласно лемме 1, = 0, если I ф к. Пусть I = к. По-
скольку 4'4'j* Є &[2S - 2г, 2j - 2i) и h(a) = 0 для а Є Щт, п], (т,п) ф (0,0), то ($,ф)я = 0 Для (г,г) ф (s,j). Так как
Є #[-2r, -2s], то r(t?}) = <r2(r+s)t(,kJ и поэтому
= М^Лфк = <Г2{г+в)№,фя (6-28)
(см. формулу (6.17)). Следовательно, {t[l-,tiV)L = 0, если I фк или если I = к и (i,j) ^ (r,s).
Пусть теперь Fjj = H(TiEjjTi). Тогда согласно лемме 1 существует константа a.j Є С, такая что (Ejj)ii = h(t\l-t^*) = = {tij,t^)R = OLj для всех і и j (-1 ^ i,j ^ /).
Точно так же, рассматривая E1ij = Ii(TfEijTi), находим, что существует константа а(- є С, такая что (f ®, ^ij ) ь = для всех і и j. Согласно (6.28) имеем а\ = Поэтому
существует константа а Є С, такая что a = Q2tCei = <j~2^ctj для всех і и j. Так как = е\'\ то согласно формулам (5.15), § 6. Анализ на квантовой группе 517,(2) 503
(4.19), (4.20) и (5.19) получаем, что a_j = q~4l(\ - q~2)/(l -- q~4l~2). Поэтому a = q~2l( 1 - q~2)/(l — q~4l~2) и, следовательно,
