Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
Это уравнение позволяет найти ф(г"), если известно 0 (г1)- Наконец, с
помощью уравнений (5.50) и (5.51) можно исключить ср и ф из уравнения
энергии и получить таким путём уравнение, содержащее
только й. Заметим, что согласно равенству (5.46) шг = const - у- а.
Поэтому Е - /Зсо2 является постоянной движения; мы обозначим её через Е'.
Тогда уравнение энергии можно будет записать в виде
Е' = -у(Й2 + ср2 sin2 Й)-j- Mgt cos(r). (5.52)
186
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл. 5
После подстановки сюда равенства (5.50) и некоторых преобразований это
уравнение примет вид
sin2 Об2 = sin2 0 (ос - [3 cos0) -(b - a cos 6)2, (5.53)
где а и 3 - постоянные, равные:
а = Щ-, $ = Щ". (5.54)
h h
Вводя теперь в (5.53) переменную я = cos О, получаем
я2 = (1- я2) (а - 8 я)- (b - аи)г (5.55)
и приходим к квадратуре
u(t)
t= Г -гг ------------(5.56)
"о /с1 -и2) ~-ЙИ)3
С помощью этого равенства и уравнений (5.50) и (5.51) функции o(t) и ф
(/) также можно получить посредством квадратур. Однако полином, стоящий
под корнем интеграла (5.56), является кубическим, и, следовательно, этот
интеграл может быть выражен только через эллиптические функции. Подробное
исследование получающихся таким путём решений можно найти в ряде книг *),
однако, как и в случае свободного движения твёрдого тела, здесь
физическая сторона явления часто в значительной степени затемняется
вследствие большого количества математики. К счастью, общий характериз
уча-емого движения можно исследовать, не прибегая к интегрированию.
Обозначим правую часть уравнения (5.55) через /(я). Корни этого
кубического полинома определяют углы, при которых 6 изменяет свой знак.
При больших значениях |я[ доминирующим членом полинома /(я) является член
;3я3. Но так как (3 всегда больше нуля [см. уравнение (5.54)], то при
больших положительных я функция /(и) будет положительной, а при больших
отрицательных я- отрицательной. В точках и = rt 1 функция /(я) равна-
(Ьц2а)г и, следовательно, всегда отрицательна, за исключением особого
случая, когда значение я = itr 1 является корнем полинома /(я) (т. е.
когда волчок находится в вертикальном положении). Следовательно, по
крайней мере один корень этого полинома должен лежать в области я> 1, т.
е. в области, которой не соответствуют вещественные углы. Но так как
величина я2 положительна и, кроме того, -1 <н< 1, т. е. -то мы должны
заключить, что для любого "вещественного" волчка функция /(я) имеет два
*) См., например, книги Ф. Клейна и А. Зоммерфельда, Уиттекера или весьма
подробную книгу: Macmillan, Dynamics of Rigid Bodies. Имеется русский
перевод: Мак-Ми л лан В. Д., Динамика твёрдого тела, ИЛ, 195!.
§ 5.7] ТЯЖЕЛЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК С НЕПОДВИЖНОЙ точкой 187
корня их и м2, лежащих между - 1 и -|- 1 (рис. 57). Следовательно, волчок
будет двигаться так, что значение cos0 будет всё время заключено между их
и и2¦ Положение этих корней на оси и и характер функций <?(cos0) и
ф(соз0) для значений 0, заключённых между их и и2, дают нам много
качественных сведений о движении волчка *).
Обычно движение волчка изображают посредством кривой, которую описывает
так называемый апекс, под которым понимают конец единичного вектора,
отложенного от начала координат в положительном направлении подвижной оси
z. Траектория апекса является сферической кривой, и полярные координаты
её точек совпадают с углами Эйлера 0 и ср. Из предыдущего параграфа
видно, что траектория апекса лежит между окружностями Oj = arccos их и 02
= arccos "3, причём О обращается на этих окружностях в нуль.
Форма кривой, описываемой апексом, в большой степени определяется корнем
двучлена b-аи\ обозначив этот корень через а', будем иметь
Ь_
а
(5.57)
ffuj
U--1 S' i S \ г/=+/ / \ j Jr
А А/
Рис. 57. Расположение кор-
ней функции /(и) для тяжёлого симметричного волчка.
Пусть, например, начальные условия таковы, что и' больше чем иг. Тогда
согласно (5.50) производная <р будет при
всех 0, лежащих между крайними значениями 0Х и 02, иметь один и тот же
знак. Следовательно, траектория апекса будет в этом случае касаться
граничных окружностей таким образом, что cs будет одинаково направлено
как при Ьх, так и при 02 (рис. 58, а).
Угол ср изменяется в этом случае монотонно, и поэтому можно сказать, что
ось волчка прецессирует около вертикальной оси. Однако это движение не
является регулярной прецессией, встречавшейся нам в случае свободного
движения твёрдого тела, так как в данном случае ось волчка не только
вращается вокруг вертикали, но и колеблется вверх и вниз между граничными
углами и 02. Таким образом, рассматриваемый волчок нутирует во время
прецессии.
*) Существует очевидное сходство между этим методом рассмотрения движения
волчка и методом "эквивалентного потенциала", применявшимся в главе 3 для
центральных сил. Действительно, модифицированное уравнение энергии (5.52)
можно рассматривать как уравнение одномерного движения точки, масса
которой равна Д, а потенциальная энергия равна
