Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
(b) Пользуясь результатами задачи 5 из главы 4, показать, что вектор в"
вращается вокруг неподвижного вектора кинетического момента с той же
скоростью ср, а угол 6' между "ей L определяется из равенства
sin 0' = -5. sin 6",
9
где 6" - угол между вектором "е и осью симметрии. Пользуясь числовыми
значениями, данными в § 5.6, показать, что ось вращения Земли и ось её
кинетического момента никогда не удаляются друг от друга более чем на 15
мм (считая по поверхности Земли).
(c) Пусть на симметричный волчок не действуют внешние силы. Пользуясь
задачами (а) и (Ь), показать, что его движение можно воспроизвести с
помощью конуса, связанного с волчком и имеющего ось, совпадающую с осью
симметрии волчка, если заставить этот конус катиться по неподвижному
конусу, ось которого направлена вдоль вектора кинетического момента.
Вектор угловой скорости будет при этом направлен вдоль общей образующей
этих конусов. Показать, что такое представление непосредственно следует
из интерпретации Пуансо.
10. Если свободное твёрдое тело не является симметричным, то
аналитическое решение уравнений Эйлера не может быть получено с помощью
200
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл. 5]
элементарных функций. Показать, что, используя теоремы о сохранении
энергии и кинетического момента, можно выразить составляющие вектора " по
подвижным осям через эллиптические интегралы.
11. Получить из уравнений движения Эйлера условие (5.70) для
симметричного волчка в поле силы тяжести, накладывая требование, чтобы
движение волчка представляло собой равномерную прецессию без нутации.
12. Показать, что величину кинетического момента тяжёлого симметричного
волчка можно представить как функцию одного только 6 и постоянных
движения. Доказать, что вектор кинетического момента прецессирует
равномерно только тогда, когда имеет место равномерная прецессия оси
симметрии.
13. В этой главе указывалось, что предварение равноденствий вызывается
моментами, действующими на Земной шар со стороны Солнца и Луны, причём
эти моменты появляются вследствие некоторой приплюснутости Земного шара.
(Гравитационные силы, действующие на идеальную сферу, не могут создать
момента.) Поэтому землю можно приближённо рассматривать как идеальный
шар, на который по экватору наложено "кольцо". Массу этого кольца и
момент инерции шара нужно выбрать так, чтобы их комбинация имела такие же
главные моменты инерции, какие фактически имеет Земля. Момент
гравитационных сил, действующих на Землю, будет тогда создаваться только
её экваториальным кольцом. Но так как период прецессии Земли весьма велик
по сравнению с периодом обращения Луны вокруг Земли и Земли вокруг
Солнца, то можно сделать ещё одно приближение, заменив Солнце и Луну
массами, распределёнными по окружностям, центры которых совпадают с
центром Земли. Кроме того, можно считать, что орбиты Солнца и Луны лежат
в одной плоскости (так называемая плоскость эклиптики).
Вычислите гравитационный потенциал
между экваториальным кольцом Земли и массой Солнца, распределённой по
окружности. Воспользуйтесь для этого разложением расстояния г по
расстояние от Земли до Солнца. (Для удобства примите плоскость эклиптики
за плоскость ху и воспользуйтесь сферическими полярными координатами.)
Вычислив аналогичным путём потенциал между Землёй и Луной, найдите полный
потенциал гравитационных сил как функцию угла 6 между земной осью и
плоскостью эклиптики. Дифференцируя этот потенциал по 6, найдите момент
сил, действующих на Землю со стороны Солнца и Луны. Покажите, что первый
отличный от нуля член в выражении этого момента равен
где G - гравитационная постоянная, а индексы s и / относятся к Солнцу и
Луне. Найдите скорость регулярной прецессии, создаваемой таким моментом
(пользуясь, например, методом задачи 11), предполагая, что период этой
прецессии весьма велик по сравнению с периодом собственного вращения.
Сравните этот результат с измеренным периодом прецессии, составляющим 25
800 лет.
14. В § 5.6 вычислялась прецессия оси вращения Земли вокруг полюса в
предположении, что на Землю не действуют никакие моменты. С другой
стороны, предыдущая задача показывает, что Земля подвергается вынужденной
прецессии под действием гравитационных моментов Солнца и Лунь;
степеням
7^-, где а - радиус экваториального кольца Земли, a Rs-среднее
ЗАДАЧИ
201
Можно, однако, показать, что движение оси вращения Земли вокруг её оси
симметрии выглядит как нутация Земли и её вынужденной прецессии. Для
доказательства этого достаточно вычислить функции G (t) и ср (t) для
тяжёлого симметричного волчка, у которого начальная скорость <р0 велика
по сравнению со скоростью регулярной прецессии р/2 а, но мала по
сравнению с <йе. При этих условиях граничные окружности апекса будут
близки друг к другу, но орбита апекса будет выглядеть так, как показано
на фиг. 58, Ь, т. е. будет иметь большие петли, медленно поворачивающиеся
вокруг вертикали. Покажите, что равенство (5.64) будет в этом случае
