Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
тяжести его остаётся неподвижным, а ось может занимать любое положение в
пространстве. В этом случае на волчок не действуют гравитационные моменты
относительно его центра тяжести, и поэтому вектор его кинетического
момента остаётся постоянным. Если гироскопу будет сообщена угловая
скорость вокруг собственной оси и эта ось будет вначале неподвижной (и
поэтому будет совпадать по направлению с вектором кинетического момента),
то в дальнейшем она будет всё время сохранять своё направление в
пространстве. Поэтому такой гироскоп можно использовать в качестве
указателя неизменного направления, так как движение экипажа, несущего
гироскоп, не будет влиять на направление его оси.
Значительно более сложно действие так называемого гирокомпаса. В этом
приборе ось волчка ограничена в своём движении и может поворачиваться
только в горизонтальной плоскости. Но так как вследствие вращения Земли
эта плоскость всё время меняет свою ориентацию в неподвижном
пространстве, то под действием реакций связей гироскоп вынужден
прецессировать с периодом одни сутки вокруг земной оси. Ось такого
гироскопа стремится сохранить своё направление в пространстве, но так как
установка гирокомпаса препятствует ему прецессировать относительно
горизонтальной плоскости, то появляются реакции подшипников, действующие
на этот гироскоп. Можно показать, что эти силы стремятся установить ось
196
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл. 3
гироскопа параллельно оси прецессии, в данном случае параллельно оси
вращения Земли. Поэтому такое устройство может служить для указания
направления меридиана, т. е. может быть использовано в качестве
"гирокомпаса".
§ 5.8. Прецессия заряженных тел в магнитном поле. Из предыдущего
параграфа видно, что движение симметричного волчка в гравитационном поле
является в общем случае весьма сложным. В противоположность этому
движение вращающегося заряженного тела, находящегося в однородном
магнитном поле, имеет сравнительно простой характер. Тем не менее, мы
рассмотрим это движение, так как оно играет важную роль в атомной физике.
Вместо уравнений Лагранжа в данном случае проще воспользоваться одной из
общих теорем динамики, а именно теоремой о кинетическом моменте, согласно
которой
§ = ЛГ, (1.24)
где L - кинетический момент системы, а N-момент внешних сил. Мы будем
предполагать, что рассматриваемое тело состоит из частиц, имеющих одно и
то же отношение заряда е к массе т.
В результате вращения этого тела заряженные частицы его будут как-то
двигаться в пространстве, и, следовательно, будут возникать токи,
взаимодействующие с магнитным полем. Если это поле является однородным,
то сумма сил, с которыми оно будет действовать на рассматриваемое тело,
будет равна нулю *), а момент этих сил будет равен
N=MXB, (5.72)
где Ж -магнитный момент токов, а /? -напряжённость магнитного поля.
Поэтому уравнение движения будет иметь в данном случае вид
% = МХВ. (5.73)
Если пользоваться единицами Гаусса, то при произвольном распределении
токов магнитный момент будет равен
М = rXjdV, (5.74)
где у - плотность тока, a dV-элемент объёма**). В качестве примера
применения этой формулы вычислим магнитный момент тока,
*) В этом случае центр масс можно считать неподвижным и кинетический
момент можно брать относительно любой точки тела (см. § 1.2).
**) См., например, R. Becker, Theorie der Elektrizitat, т. II, 6-е изд.,
стр. 98, или Stratton, Electromagnetic Theory, N. Y., 1941, стр. 235 (где
используются единицы MKS).
§ 5.8]
ПРЕЦЕССИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ТЕЛ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
197
протекающего по плоскому витку. Произведение jdV можно записать в этом
случае в виде
jdV = jdS dl = I dl,
где i-сила тока, dS--площадь поперечного сечения проволоки, a dl -
элементарный вектор, идущий вдоль направления тока. Поэтому магнитный
момент будет в данном случае равен
ром г (см. определение секториальной скорости, § 3.2), и поэтому величина
этого интеграла равна площади рассматриваемого витка. Обозначив эту
площадь через А, а единичный вектор, перпендикулярный к плоскости витка,-
через га, будем иметь:
Это - обычная форма записи магнитного момента плоского витка.
Вернёмся теперь к формуле (5.74). Вместо плотности тока j в неё можно
подставить произведение плотности заряда на вектор его скорости. Но
плотность заряда равна в свою очередь произведению его массовой плотности
р на отношение е/т.. Поэтому будем иметь:
Но написанный интеграл представляет собой полный кинетический момент
данного тела. Следовательно, существует однозначное соотношение (по
крайней мере в классической физике), связывающее кинетический момент тела
с его магнитным моментом *). Оно имеет вид
Таким образом, уравнение движения (5.73) можно записать в виде
Но г X ^ есть элемент площади, описываемой радиусом-векто-
и
(5.75)
dL . еВ
dt ~ Х 2тс'
(5.77)
*)-Квантовая природа "спинового" кинетического момента электрона
проявляется в том, что формула (5.76) для него неверна, а верна
