Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
[см. уравнение (1.24)]. Производная по времени здесь берётся, конечно, в
неподвижной системе координат, так как это уравнение справедливо только в
инерциальной системе. С другой стороны, в уравнения (5.34) входят
производные по времени от составляющих вектора &) по подвижным осям.
Однако согласно равенству (4.100) имеем:
4("г- (4-4) = АА
(5.33)
4е0аз шушг (4 4) - ^4з> ^
4% - (4 - 4) = )
4<ог- <s>xwy{Il--12) = Мг. J
(5.34)
пространство
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛЛ
[ГЛ. О
и, следовательно, проекция уравнения
dL " т
~dt=N
на главную ось х имеет вид
+ = (5.35)
Учитывая теперь, что составляющие кинетического момента Lx, Ly, Lz равны
произведениям 1Хшх, /у<яу, /3(о_, получим
шушг (4 - 4) =
что совпадает с первым из уравнений (5.34). Остальные уравнения
получаются отсюда посредством циклической перестановки индексов.
§ 5.6. Свободное движение твёрдого тела. Одной из задач, к которой можно
применить уравнения Эйлера, является задача о движении твёрдого тела, не
подверженного действию никаких сил. Центр масс такого тела будет
находиться в покое или будет двигаться равномерно. Поэтому, не нарушая
общности решения, мы можем рассмотреть движение этого тела в системе,
связанной с его центром масс. Тогда центр масс этого тела будет
неподвижен, и
поэтому кинетический момент будет возникать только вследствие вращения
вокруг центра масс. Поэтому уравнения Эйлера будут уравнениями движения
этой системы, а так как мы рассматриваем случай, когда моменты сил
отсутствуют, то эти уравнения примут вид:
I2'°l, = t"zwx(.13 -Л)> j (5'36)
4(°г = - J
Конечно, эти уравнения будут описывать также движение твёрдого тела с
неподвижной точкой в случае отсутствия внешних моментов.
Известны два непосредственных интеграла этих уравнений, выражающих
постоянство кинетической энергии и кинетического момента этого тела. С
помощью этих интегралов уравнения (5.36) можно проинтегрировать в
эллиптических функциях, однако этот путь не очень интересен, так как
можно дать изящное геометрическое описание рассматриваемого движения, не
требующее полного решения задачи. Оно известно под названием
геометрической интерпретации Пуансо.
Рассмотрим координатную систему, образованную главными осями тела, и в
этой системе координат рассмотрим функцию
F(p) = p./.p,
§ 5.(S|
СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА
179
где р--вектор, определённый нами в § 5.4. Поверхности F - const будут
тогда эллипсоидами и, в частности, поверхность F - 1 будет эллипсоидом
инерции. Так как направление оси вращения изменяется со временем, то
вектор р также будет изменять своё направление, причём конец его будет в
каждый момент времени определять некоторую точку на поверхности
эллипсоида инерции. Градиент функции F определяет направление нормали к
эллипсоиду инерции в этой точке. Исходя теперь из определения функции F и
учитывая, что / имеет в главных осях диагональную форму, получаем
следующее выражение для частной производной F по
Но так как вектор р можно определить также как
О)
р =
то будем иметь
У/
о>у1
ИЛИ
и аналогично
(VOi - ~r= Lx
(vn2 =
2 VI
2
V7
Следовательно, вектор to будет изменяться таким образом, что
соответствующая нормаль к эллипсоиду инерции будет параллельна вектору
кинетического момента. Но в том частном случае, который мы здесь
рассматриваем, направление вектора L остаётся неизменным, и поэтому
эллипсоид инерции (жёстко связанный с телом) должен двигаться в
пространстве таким образом, чтобы сохранялась эта связь между ю и L (рис.
54).
Покажем теперь, что расстояние от центра эллипсоида инерции по.
плоскости, касающейся его в точке р, остаётся постоянным. Действительно,
так как это расстояние равно проекции р на L, то оно определяется из
равенства
р L о> L __ 2Т
или
coZ. Vi LY/<оЗ
P -L _ УТг
(5.37)
180
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
Но кинетическая энергия Т и кинетический момент L являются некоторыми
константами рассматриваемого движения, и, следовательно, касательная
плоскость будет отстоять от центра эллипсоида инерции на постоянном
расстоянии. Однако так как нормаль к этой плоскости направлена вдоль L и,
следовательно, имеет неизменное направление, то эта плоскость является
неподвижной. Поэтому рассматриваемое движение можно реализовать
посредством качения эллипсоида инерции по некоторой неподвижной
плоскости; центр эллипсоида инерции находится при этом в фиксированной
точке
пространства. Это качение происходит без скольжения, так как точка
касания эллипсоида инерции с неподвижной плоскостью определяется вектором
р, который направлен по мгновенной оси вращения, т. е. по той прямой, все
точки которой находятся в данный момент в покое. Кривая, описываемая на
эллипсоиде инерции точкой касания, называется полодией, а аналогичная
кривая на неподвижной плоскости называется герполодией *).
Геометрическая интерпретация Пуансо даёт полное представление о движении
тела, не подверженного действию никаких сил. Ориентация неподвижной
