Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
движения оказывается довольно нестабильной, а наблюдаемый период
составляет приблизительно 427 дней, а не 300, как это получается по
расчёту. Флюктуации этого движения приписывают небольшим изменениям в
распределении масс Земли, например вызываемым движением её атмосферы, а
расхождение в периоде, видимо, возникает в результате того, что Земля не
представляет собой твёрдого тела, а является телом упругим *).
§ 5.7. Тяжёлый симметричный волчок с одной неподвижной точкой. В качестве
следующего, более сложного примера мы рассмотрим движение тяжёлого
симметричного тела, имеющего неподвижную точку на оси симметрии. К задаче
о тяжёлом симметричном волчке приводит исследование ряда физических
систем, начиная от простого детского волчка и кончая сложными
гироскопическими навигационными приборами. Поэтому как в отношении
практических применений, так и для иллюстрации развитых нами методов
движение тяжёлого симметричного волчка заслуживает подробного
рассмотрения.
Ось симметрии является, конечно, одной из главных осей волчка; мы её
примем за ось z системы, связанной с движущимся телом. Так как одна точка
волчка является неподвижной, то его положение вполне определяется тремя
углами Эйлера: угол 0 определяет отклонение оси z от вертикали, угол ср
определяет азимут волчка, а угол ф характеризует поворот волчка вокруг
его собственной оси (рис. 56). Расстояние от центра тяжести волчка,
расположенного
*) Прецессию земной оси при свободном движении не следует путать с
медленной прецессией вокруг нормали к эклиптике. Последняя представляет
собой астрономическое явление, известное под названием предварения
равноденствий, и вызывается гравитационными моментами Солнца и Луны,
которыми мы пренебрегали. То, что такое пренебрежение допустимо, видно,
например, из того, что период предварения равноденствий велик (26 000
лет) по сравнению с периодом свободной прецессии, равным, грубо говоря,
одному году. Астрономическая прецессия рассматривается дальше в § 5.7 и в
задачах.
184
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 5
на его оси симметрии, до неподвижной точки мы обозначим через /.
Для решения задачи о движении волчка мы используем не уравнения Эйлера, а
уравнения Лагранжа. Так как рассматриваемое тело является симметричным,
то его кинетическая энергия может быть записана в виде
Т=-5-Л"+"|)+7"
или с учётом (4.103) в виде
Т= у- (й2 -ф ср2 sin2 б) -j--у ('^-f- tp cos в)2. (5.43)
Полученная формула выражает Т через углы Эйлера. Потенциальная энергия
волчка равна, очевидно,
V = Mgl cos 0, (5.44)
и поэтому лагранжиан его имеет вид
L = -у (62-f ср2 sin2 Q)-f- -у-(ф-)- tp cos&)2 - Mgl cos 8. (5.45)
Заметим, что углы ср и ф не входят явным образом в лагранжиан.
Следовательно, они являются циклическими координатами,
указывающими на неизменность соответствующих обобщённых импульсов. Но мы
знаем, что обобщённый импульс, соответствующий какому-либо углу поворота,
представляет собой составляющую полного кинетического момента
относительно соответствующей оси вращения, какой для угла ср является
вертикальная ось, а для угла ф - ось z, связанная с телом. Поэтому
составляющие кинетического момента относительно этих осей должны
оставаться постоянными. В сущности то, что эти составляющие кинетического
момента должны быть постоянными, можно показать, исходя из элементарных
прин-' Линия узлов ципов. Действительно, момент силы тя-
Рис. 56. Углы Эйлера для жести симметричного волчка направлен
симметричного волчка. вдоль линии узлов. Следовательно, ки-
нетические моменты волчка относительно вертикали и относительно его
собственной оси должны быть равны нулю, так как согласно определению этих
осей они перпендикулярны к линии узлов,
2 Вертикаль
§ 5.7] ТЯЖЁЛЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК С НЕПОДВИЖНОЙ точкой 185
Поэтому мы можем сразу написать два первых интеграла движения:
р = = I., (ф -f- 9 cos 6) = /Зш, = 1ха (5.46)
у аб
и
р" - -^4- - (Д sin2 0 /., cos2 Й) э /Зф cos 0 = /х?. (5.47)
(Константы, которые нужно было написать в правых частях этих равенств, мы
записали в виде /ха и 1ХЬ, где а и ?-некоторые постоянные.) Так как
рассматриваемая система консервативна, то
можно написать ещё один первый интеграл, имеющий вид
Е= Г-ЬУ = -^(Й2 + 92з1п2Й)4-Ат2+Ж^со5Й, (5.48)
где Е -постоянная, равная полной энергии этой системы.
Для того чтобы решить задачу, нам теперь потребуются только три
квадратуры, которые легко получить из этих трёх первых
интегралов без непосредственного применения уравнений Лагранжа. Выражая
согласно уравнению (5.46) ф через <р, получаем
Iyb - Ixa - /Зср cos Й. (5.49)
Подставляя теперь это выражение в (5.47) и исключая таким спосо-
бом ф, находим:
/хсв sin2 Й /ха cos Й = 1ХЬ,
или
b - a cos 0
sin3 6
(5.50)
Таким образом, если мы будем знать Й как функцию времени, то, интегрируя
уравнение (5.50), сумеем найти зависимость ср от t. Подставив теперь
(5.50) в (5.49), мы получим следующую зависимость ф от Й:
; 1\а Ь - a cos 0 ..
ф = ^_СО80___. (5.51)
