Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
ф уравнение (5.70) не удовлетворяется значением ср = 0. Следовательно,
получить равномерную прецессию можно, лишь сообщив волчку начальный
толчок. Без этой правильно выбранной начальной скорости прецессии можно в
лучшем случае получить лишь псевдорегулярную прецессию.
Если прецессия медленная, так что величиной ср cos 0 можно пренебречь по
сравнению с а, то ср будет приближённо равно
что совпадает со средней скоростью псевдорегулярной прецессии быстрого
волчка. Этот результат следовало, конечно, ожидать, так как если скорость
прецессии мала, то мала и разница между движением гироскопа с небольшим
начальным толчком и движением без толчка.
Следующий случай, который мы сейчас рассмотрим,-это случай, когда
значение и = 1 является одним из корней функции /(и). Предположим, что
волчок начинает вращаться в вертикальном положении. Ясно, что тогда b
будет равно а, так как постоянные 1ХЬ и 1ха являются составляющими
кинетического момента относительно вертикальной оси и оси волчка, а эти
оси в рассматриваемом положении совпадают. Так как начальная угловая
скорость волчка направлена в этом случае строго по его оси, то, положив в
равенстве (5.52) 6 = 0 (т. е. рассматривая это равенство при t = 0),
будем иметь
E' = E-±I.ia>l = Mgl,
откуда следует, что а = [3 [см. уравнение (5.54)]. Поэтому уравнение
энергии этого волчка может быть записано в виде
"2 = (1 -м2)Р( 1 - я) - а2(1 - и)2
или
и2 - (1 - uf {(3 (1 -f- и) - а2}.
Из этого уравнения видно, что число и - 1 является его двукратным корнем;
третий корень этого уравнения равен
Если а2/ 3>2 (что соответствует "быстрому волчку"), то > 1, и
единственным возможным движением будет такое, при котором а - 1, т. е.
такое, когда волчок продолжает вращаться вокруг вертикали. График функции
f (и) имеет в этом случае вид,
194
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл* 5
показанный на рис. 60, а. Если же а2/\3 < 2, то и3 будет меньше единицы,
и функция /(") будет иметь вид, показанный на рис. 60, Ь. В этом случае
волчок ну тирует между 0=0 и 0 = 0,,. Таким образом, существует
критическая угловая скорость со', выше которой возможно только
вертикальное движение волчка. Величина её определяется равенством
^ /h\ h(0'" о
?-\I1)2Mgl
откуда
(1/а = 4 (5.71)
П
Практически, если вертикально стоящий волчок начинает вращаться со
скоростью, большей, чем и/, то некоторое время он действительно будет
продолжать вращение вокруг вертикали (отсюда название "спящий волчок").
Однако трение будет постепенно уменьшать
Рис. 60. График функции / (и) в случае волчка, ось которого в начальный
момент времени вертикальна.
скорость его вращения, и когда она станет ниже критической, волчок начнёт
раскачиваться, притом тем сильнее, чем больше будет падать скорость его
вращения.
Мы уже говорили, что Землю можно рассматривать как волчок, ось которого
прецессирует относительно нормали к эклиптике (это движение известно в
астрономии под названием предварения равноденствий). Если бы Земной шар
был однородным телом, имеющим форму правильной сферы, то другие тела
солнечной системы не могли бы действовать на него с некоторым
гравитационным моментом. Однако Земля немного сплюснута у полюсов и
слегка "выпучена" у экватора. Поэтому на неё действует гравитационный
момент (главным образом со стороны Солнца и Луны), что заставляет ось
Земли прецессировать. Момент этот весьма мал, и поэтому прецессия Земной
оси оказывается исключительно медленной: период её
§ 5.7] ТЯЖЁЛЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК С НЕПОДВИЖНОЙ точкой 195
составляет 26 ООО лет, в то время как период её собственного вращения
равен всего одним суткам. Полный гравитационный момент, действующий на
Земной шар, не является постоянным, так как моменты Солнца и Луны имеют
несколько различные направления по отношению к эклиптике и изменяются,
когда Земля, Солнце и Луна движутся друг относительно друга. В результате
этого в прецессии Земли появляются некоторые неправильности, называемые
астрономической нутацией. Её, однако, не следует путать с истинной
нутацией, рассмотренной выше, которая имеет место и тогда, когда момент
вызывается постоянной силой. Клейн и Зом-мерфельд отмечали, что истинная
нутация выглядит так же, как прецессия оси вращения Земли относительно её
оси симметрии при отсутствии сил (мы рассматривали её в предыдущем
параграфе). Земля, по-видимому, начала вращаться с начальным значением
ср, значительно большим того, которое требуется для равномерной
прецессии, и поэтому её нутация выглядит приблизительно так, как показано
на рис. 58, Ь. Можно показать, что при этих условиях период нутации
близок к периоду прецессии при отсутствии внешних сил [определяемому
формулой (5.40)].
Хотя объём данной книги не позволяет подробно остановиться на
многочисленных технических приложениях гироскопов, мы всё же кратко
коснёмся этого вопроса. Под "гироскопом" обычно понимают симметричный
волчок, установленный в кардановом подвесе таким образом, что центр
