Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
плоскости Пуансо и её расстояние от центра эллипсоида инерции
определяется значениями Т и L, которые находятся из начальных условий.
Задача об определении полодии и герполодии становится тогда чисто
геометрической задачей. Направление угловой скорости определяется
направлением вектора р, а мгновенная ориентация тела определяется
ориентацией эллипсоида инерции, который жёстко связан с движущимся телом.
Эллипсоид инерции
7
Рис. 54. Движение эллипсоида инерции по неподвижной плоскости.
*) Выражаясь коротко, можно сказать, что полодия катится без скольжения
по неподвижной герполодии.
§ 5.6] СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА 181
Подробное описание рассмотренного движения с позиций картины Пуансо можно
найти в ряде различных книг *).
В случае симметричного тела эллипсоид инерции становится эллипсоидом
вращения, а полодия превращается в окружность с центром на оси симметрии.
Вектор угловой скорости описывает в этом случае поверхность конуса,
следовательно, вектор ы прецес-сирует вокруг оси симметрии тела.
В случае симметричного твёрдого тела нетрудно получить аналитическое
решение, которое подтверждает прецессионный характер рассматриваемого
движения, исследованного нами с помощью интерпретации Пуансо. Примем ось
симметрии за ось z. Тогда будем иметь /1=/2, и уравнения Эйлера (5.36)
примут вид:
Л"(r) = (Л - 4)aw ]
Н = -1 (5-38)
I
/Зшг = 0. J
Последнее из этих уравнений показывает, что шг является величиной
постоянной и поэтому может рассматриваться как одно из известных
начальных данных. Из двух остальных уравнений можно исключить или что
можно сделать посредством дифференцирования одного из этих уравнений.
Взяв, например, производную по времени от левой и правой части первого из
уравнений (5.38), получим
Л"* = (Л-
Подставив теперь сюда вместо его выражение из второго уравнения (5.38),
будем иметь
(5.39)
Из уравнения (5.39) видно, что о)л изменяется по гармоническому закону с
угловой частотой
2=^4- (5.40)
Поэтому функция Wj,(0 может быть записана в виде
= ^4 sin Q/, (5.41)
где А--некоторая постоянная. Функция wy(t) может быть найдена посредством
подстановки (5.41) в первое уравнение (5.38) и решения его относительно
шу. Проделав это, найдём
шу - A cosQt. (5.42)
*) См., в частности, Webster, Dynamics of Particles and Rigid
Bodies, a
также статью Winkelmann und Qrammel в т. V Handbuch der
Physik
и монографию F. Klein und A. Sommerfeld, Theorie des Kreisels,
182
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл. 5
Формулы (5.41) и (5.42) показывают, что вектор имеет
постоянную величину и равномерно вращается вокруг оси z с угловой
скоростью Q (рис. 55). Следовательно, полная угловая скорость
ш = <V + CV + "г*
тоже имеет постоянную величину и прецессирует вокруг оси z
с той же угловой скоростью; это согласуется с картиной движения по Пуансо
*). Следует помнить, что эта прецессия является прецессией относительно
осей, связанных с телом, которые в свою очередь вращаются в неподвижном
пространстве с большей угловой
скоростью св. Из равенства (5.40) видно, что чем ближе /х к /3, тем
меньше
будет скорость прецессии Q по сравнению со скоростью вращения св.
Постоянные А (амплитуда прецессии) и со, можно выразить через более
естественные константы движения, а именно через кинетическую энергию Т и
кинетический момент L. Для этого нужно воспользоваться выражениями Т и L2
через А'и свг, которые имеют вид:
[} - i\a?
и разрешить написанные равенства относительно А и свг.
Рис. 55. Прецессия вектора ось вращения Земли даёт пример рас-
llTcuLeipZwro tbTP7oVo смотренной прецессии, так как внешние
тела в случае отсутствия моменты, действующие на Землю, на-
сил. столько малы, что её вращение можно
считать происходящим без действия внешних сил. Так как Земля симметрична
относительно своей оси и слегка сплюснута у полюсов, то для неё 1Х меньше
чем /а, причём численное отношение этих моментов таково, что
-0,0033.
h
*) Этот результат можно получить также следующим способом. Пусть Q
означает вектор, идущий вдоль оси z и имеющий величину, определяемую
равенством (5.40). Тогда уравнения (5.38) будут по существу эквивалентны
одному векторному уравнению
м = <о X Q-
Отсюда сразу видно, что вектор w прецессирует вокруг оси z с угловой
скоростью О,
§ 5.7] ТЯЖЕЛЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК С НЕПОДВИЖНОЙ точкой 183
Следовательно, .величина угловой скорости прецессии Земли равна
Но так как шг практически имеет ту же величину, что и ш, то полученный
результат показывает, что период прецессии Земли составляет 300 дней или
10 месяцев. Поэтому наблюдатель, находящийся на Земле, должен обнаружить,
что ось её вращения описывает окружность вокруг Северного полюса,
совершая один оборот за 10 месяцев. Нечто похожее на это явление удаётся
наблюдать в действительности, но амплитуда прецессии оказывается при этом
настолько малой, что ось вращения никогда не удаляется от Северного
полюса более чем на 5 метров. Следует, однако, заметить, что орбита этого
