Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
173
собственные значения матрицы тензора / не все различны, то изложенное
доказательство ортогональности не проходит, однако оно может быть для
этого случая немного изменено, что можно сделать без большого труда. Если
имеются два одинаковых собственных значения, то соответствующие
собственные векторы не обязательно будут ортогональны. Однако любая
линейная комбинация этих собственных векторов должна опять быть
собственным вектором матрицы тензора I с тем же собственным значением.
Следовательно, все векторы, лежащие в плоскости, определяемой двумя этими
собственными векторами, также являются собственными векторами. Тогда
собственный вектор, соответствующий третьему собственному значению, будет
перпендикулярен к этой плоскости. Поэтому в рассматриваемой плоскости
можно выбрать два произвольных взаимно перпендикулярных вектора, которые
вместе с третьим, им перпендикулярным, определят три искомые оси.
Аналогично, если все собственные значения будут одинаковы, то все
направления пространства будут направлениями собственных векторов. Но это
значит, что матрица тензора / является диагональной и ей не требуется
диагонализировать.
Таким образом, методы матричной алгебры позволили нам показать, что для
любой точки твёрдого тела существует декартова система координат, в
которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются
главными осями инерции, а соответствующие диагональные элементы /1, /2,
/3 - главными моментами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью
которого оси данной подвижной системы координат преобразуются в главные
оси, известно как преобразование к главным осям. Практически главные
моменты инерции находятся, конечно, из уравнения, определяющего
собственные значения матрицы тензора I, т. е. из векового уравнения.
Напомним, как получается это уравнение. Заметим, что при г-1, 2, 3
уравнения (5.22) образуют систему трёх однородных линейных уравнений
относительно составляющих собственного вектора. Поэтому они будут иметь
нетривиальное решение только в том случае, когда детерминант из их
коэффициентов будет равен нулю:
^XX I I ху ^ZX
^ху Iи У ^ lyz = 0. (5.26)
Izz~I
Уравнение (5.26) является вековым уравнением, кубическим относительно I,
и три его корня представляют искомые моменты инерции. Для каждого из этих
корней можно найти решения уравнений (5.22) и получить таким путём
направление соответствующей главной оси.
Во многих простых случаях о главных осях твёрдого тела можно судить
непосредственно по его виду. Часто, например, встречаются
1/4
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
случаи, когда рассматриваемое тело представляет собой тело вращения, а
начало подвижной системы координат лежит на его оси симметрии. Тогда все
направления, перпендикулярные к оси симметрии, будут, очевидно,
равнозначными, что указывает на наличие двойного корня векового
уравнения. Главными осями будут в этом случае ось симметрии и две любые
взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси
симметрии.
К понятию о главных осях можно придти и из некоторых геометрических
соображений. Исторически они были первыми, которые привели к этому
понятию. Момент инерции относительно данной оси мы определили как
Обозначив направляющие косинусы вектора я через а, 3, у, будем иметь
я = fij-j-yk,
и тогда вследствие симметрии выражения для / его можно будет записать в
виде
/ = Ixafl2 + 1уу$2 + /"т2 + 2+ 2/^Т + 2Wl*- (5.27)
Введём теперь вектор р, определяемый равенством
Таким образом, мы связываем величину этого вектора с моментом инерции
относительно оси п. Вводя составляющие этого вектора в равенство (5.27),
мы можем записать последнее в виде
1 = + tyy'A + 4гРз + 24тгЛР2 4" 2 VP2P3 4~ 24жР3р!- (5.28)
Рассматривая правую часть этого уравнения как функцию трёх переменных, мы
видим, что оно является уравнением некоторой поверхности в пространстве
вектора р. Эта поверхность представляет собой поверхность эллипсоида,
который называется эллипсоидом инерции. Известно, что всегда можно найти
такое преобразование декартовых координат, в результате которого
уравнение эллипсоида принимает канонический вид
1 =/iPi2 + /2p22 + /3p32> (5.29)
и главные оси его оказываются направленными вдоль новых осей координат.
Но уравнение (5.29) имеет как раз такой вид, какой приобретает уравнение
(5.28) в системе координат, где тензор инерции / является диагональным.
Следовательно, преобразование координат, приводящее уравнение эллипсоида
к каноническому виду, совпадает с рассмотренным выше преобразованием к
главным осям.
§ o.bj ОБЩИЙ МЕТОД РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ о ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО Т?ЛА 175
Главные моменты инерции определяют длину осей эллипсоида инерции. Если
два корня векового уравнения будут равны, то эллипсоид инерции будет
иметь две равные оси и, следовательно, будет эллипсоидом вращения. Если
же все главные моменты инерции будут равны, то эллипсоид инерции
превратится в сферу.
Величиной, тесно связанной с моментом инерции, является радиус инерции
