Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
определяющее изменение х со временем. Оно может быть без труда
проинтегрировано. При начальном условии xf=0 = 0 решение его имеет вид
х == (1 - cos at), (5.64)
где хх--величина, определяемая равенством (5.62). Следовательно, угловая
частота нутации равна
a - -j- шг, (5.65)
и, как показывает эта формула, она будет тем больше, чем больше начальная
скорость собственного вращения волчка.
Найдём теперь угловую скорость прецессии. Согласно (5.50) она равна
• а (и0 - и) ^ ах
^ " Sin2 0 ~ Sltl2 0О '
или, учитывая (5.64) и (5.62),
ф=-^-(1-cos at). (5.66)
§ 5.71 пг/КЁлыИ симметричный волчок с неподвижной точкой 191
Следовательно, скорость прецессии не постоянна, а изменяется по
гармоническому закону с той же угловой частотой, что и мутация. Средняя
угловая частота прецессии получается равной
х__ р _ Mgi
2 а
(5.67)
Отсюда видно, что скорость прецессии будет тем меньше, чем больше
начальная скорость вращения волчка.
Таким образом, мы получили полную картину движения быстрого волчка, ось
которого вначале неподвижна. Мы видим, что сразу после того, как ось его
освобождается, он начинает опускаться под действием силы тяжести. Но,
начиная опускаться, волчок приобретает прецессионную скорость, прямо
пропорциональную величине его опускания, что заставляет его ось двигаться
не вниз, а вбок. При этом, кроме прецессии, появляется также нутация оси
волчка, которая носит периодический характер. С увеличением начальной
скорости волчка амплитуда нутации быстро уменьшается, а частота нутации
увеличивается. Прецессионное движение волчка вокруг вертикали становится
при этом более медленным.
Практически нутация достаточно быстрого волчка сильно демпфируется
трением в опоре. Поэтому она становится незаметной, и тогда кажется, что
волчок равномерно прецессирует вокруг вертикальной оси. Так как такая
прецессия является регулярной только приближённо, то она получила
название псевдорегулярной прецессии (согласно Клейну и Зом-мерфельду). В
элементарной теории волчка нутацией в большинстве случаев пренебрегают,
что приводит к парадоксальному выводу, будто, получив возможность
двигаться, ось волчка сразу начинает равномерно прецессировать, т. е.
начинает двигаться в направлении, перпендикулярном к силе тяжести,
которая является причиной прецессии. Однако из предыдущих рассуждений
ясно, что прецессия возникает не сразу, т. е. ось волчка начинает
двигаться из состояния покоя без бесконечно больших ускорений. При этом
начальная тенденция волчка состоит в том, чтобы двигаться в направлении
силы тяжести.
Интересно определить, какие начальные условия обеспечивают регулярную
прецессию. Так как в этом случае угол 0 должен быть постоянным, равным
60, то это означает, что Ь1 - 02 = 0о, или, другими словами, что функция
/(и) должна иметь двукратный корень и о (рис. 59). Мы можем высказать это
и иначе, потребовав,
Рис. 59. График функции f(u) в случае регулярной прецессии.
192 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО TlijIA [ГЛ. 5
чтобы при 0 = 0о обращалось в нуль не только 0, но и 9 *). Записывая
уравнение энергии [уравнение (5.53)] в виде
iiO Г о г,\ (Ь - Я COS 0)2
Ь2 = (а ,3 cos Q) V . sin26 (5.68)
и дифференцируя его по времени, будем иметь
24 0 = Э sin 00 + 2 cos 00 - ?fi(b-a cos 6) •
1 1 sin3 0 sin 0
Так как в обе части этого равенства входит множитель 4, то
условие 4 = 0 (при 9 = 90) можно с помощью уравнения (5.50) записать в
виде
= а? - tp2 cos 0. (5.69)
Подставляя сюда из (5.54), а а из (5.46), получаем:
Mgl = 9 (/;у - (А -/:!) ? cos 0]. (5.70)
В общем случае начальные условия требуют задания величин 9, 9, ф, 9, 9 и
ф при t = 0. Но так как две из них, 9 и ф, являются циклическими, то
начальные значения их являются для нас несущественными, и дело сводится к
заданию четырёх остальных величин. Но так как мы требуем, чтобы движение
волчка представляло регулярную прецессию, то выбор этих четырёх начальных
значений не может быть произвольным, ибо они должны удовлетворять
равенству (5.70). Выбрав, например, начальные значения 9 и, скажем, 9 и ф
почти произвольно, мы найдём соответствующее значение 9. Мы говорим
"почти произвольно", потому что уравнение (5.70) является квадратным, и
для того, чтобы 9 было вещественным, дискриминант уравнения должен быть
положительным. Следовательно, должно выполняться неравенство
/Зф2 - 4Mgl (/, - /3) cos 0 > 0,
ограничивающее область допустимых начальных значений 0 и ф. Вследствие
того, что уравнение (5.70) является квадратным, оно опреде-
*) Требование, чтобы 0 обращалось в нуль, вполне эквивалентно требованию,
чтобы "о - cos во было двукратным корнем функции } (и), ибо последнее
можно записать в виде равенства
^так как "^'=='y'j • Полученное здесь выражение для
совпадает, конечно,
с тем, которое мы 'получили бы, составляя уравнение Лагранжа для
координаты 0.
§ 5.7J ТЯЖЁЛЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК С НЕПОДВИЖНОЙ точкой 193
ляет в общем случае два значения ср, соответствующих "быстрой" и
"медленной" прецессии. Следует также заметить, что ни при каком конечном
