Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
член суммы. Например, подставляя произвольный п- й член ряда (13.25.10) в
условие
(13.25.3), получим
В>'=7ГТГ- (13.25.11)
апир
Проделывая то же самое с использованием условия
(13.25.2) и учитывая для упрощения результат (13.25.11), получим
аДРр-Vi апРр (so + si) '
(13.25.12)
ctg апа =
Это трансцендентное уравнение можно решить числовым или графическим
методом, найдя бесконечный набор корней {ося} (рис. 13.25.1).
Собственные значения {апа} определяют ряды функций {sin (ос"а)} и
{cos(ocna)}, которые, как можно показать, являются ортогональными*) в
интервале (-а, а). Коэффициенты Ап и Вп можно вычислить, если умножить
функцию распределения f (*) = бр (*, 0) для / = 0 в виде ряда (13.25.10)
на cosoc"* или sinocn* и про-
*) Собственные функции должны быть ортогональны в любом случае, так' как
система является частным случаем задачи Штурма-Лиувилля. Читателю полезно
в качестве упражнения доказать эту ортогональность,
362
интегрировать от - а до-1- а, используя ортогональность собственных
функций, в результате получим
а
5 f (х) cos (апх) dx
А-°~л , -<^п ' <13 25 13)
\ ~г 2а па j
и
J f (*) sin (апх) dx - а____________________
д Л sin (2оСдД) \ '
\ 2а"а )
Формальное решение задачи закончено.
Из графиков на рис. 13.25.1 и из вида ряда (13.25.10) ясно, что первый
член затухает гораздо медленнее, чем члены более высокого порядка этого
ряда. Для более поздних моментов времени можно рассматривать только
первый член, относящийся к собственному значению av При этих
обстоятельствах затухание является экспоненциальным с временной
константой т0, которая связана с т и ах (согласно (13.25.10)) следующим
образом:
i = l + ajDp. (13.25.15)
Отсюда ясно, что
"i=?(?-?)-?¦ <13-25-16>
Решая трансцендентное уравнение (13.25.12) для собственных значений
относительно s0 и подставляя а2 в виде (13.25.16), можно выразить s"
через измеряемые величины Яц, т и а, что позволяет определить скорость
рекомбинации, связанной с границей зерна внутри кристалла, из измерений
константы затухания фотопроводимости. Это выражение для s" имеет
следующий вид:
Dpb-^VD^.igaVNDp 0 ¦1 + /DpActgflKA/Dp ' ' '
14. Полупроводниковые переходы
14.1. На рис. 14.1.1 показаны энергетические уровни полупроводника n-
типа. В невырожденном полупроводнике уровень Ферми лежит в запрещенной
зоне на расстоянии, по крайней мере равном 2kT от дна зоны проводимости
или потолка валентной зоны, так что ?" 2kT и 2kT. Концентрации носителей
тока являются функциями ?" и положения уровня Ферми по
отношению к краям зон. Для невырожденного полупроводника находим
По = ft/ехр т|> = ЛГС ехр (- UkT), (14.1.1)
po - tiiexp (-т|з) -Mvехр (-?,p/kT), (14.1.2)
363
что дает в результате закон, справедливый для невырожденного
полупроводника:
п0р0 = п* = NcNv ехр (- eg/kT), (14.1.3)
где ге = ?" + - ширина запрещенной зоны, a Nc (для зоны
про-
водимости) и Nv (для валентной зоны) определены соотношениями
N,
c,v - % (¦
2лте, hkT\3/2 h2
(14.1.4)
Рис. 14.1.1. Энергетические уровни в невырожденном полупроводнике л-типа.
Стрелкой обозначено положительное направление отсчета энергии.
те и mh - эффективные массы электронов и дырок.
Численно имеем
W.,.=2.5-10"(^s^r мг".
Потенциал г|з - безразмерная величина, измеряемая в единицах kT по
отношению к энергии "собственного уровня" &i, так как в собственном
полупроводнике, по определению, = 0.
Легко показать, что лежит приблизительно в середине запрещенной зоны:
= +\kT ln^. (14.1.5)
При инжекции избыточных носителей действительные концентрации носителей
возрастают: п>п0 и р>р0. Квазиуровни Ферми для электронов и дырок, Шре и
%Fh, можно найти из выражений, аналогичных (14.1.1) и (14.1.2):
n = Nc ехр (- Vn/kT), (14.1.6)
p = Nv ехр (- Ц/kT). (14.1.7)
Можно видеть, что при инжекции квазиуровни Ферми лежат
ближе к соответствующим краям зон и смещены по отношению
к равновесному уровню Ферми, и, кроме того, что для неосновных носителей
заряда квазиуровень Ферми смещается сильнее, чем для основных носителей.
14.2. В однородном полупроводнике в равновесном состоянии потенциал
отклоняется от постоянного значения только вблизи граничной области, в
которой физические условия обусловливают различную величину потенциала.
Этой граничной областью может быть р - га-переход, поверхность или
граница раздела фаз, как, например, в случае контакта металл -
полупроводник.
Рассматривая одномерный случай с переменной координатой х, предполагаем,
что равновесное распределение Больцмана
п (х) = const ¦ ехр (eV/kT) (14.2.1)
справедливо везде, где V = V (х) изменяется с расстоянием. Вы-
364
бор значения постоянной зависит от выбора начала отсчета потенциала V\ в
частности, он может быть равен пг, если за начало отсчета потенциала
принять &i/e. (Отметим, что энергия есть произведение электронного заряда
на потенциал.)
Будет удобно принять V = 0 в однородной части объема материала, т.
е. на бесконечно большом расстоянии от границы.
Тогда постоянная становится объемной концентрацией п0, рав-
