Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вычисляется путем интегрирования концентрации избыточных носителей по
толщине образца и умножением результата на площадь сечения S. Таким
образом, если 6Р -число избыточных дырок, а 6ЛГ -число избыточных
электронов внутри образца, то
так как в конце концов 6р = 6п. Вычисляя этот интеграл, легко видеть, что
Это выражение описывает зависимость возникающей фотопроводимости от
свойств кристалла и геометрических параметров образца.
*) Решение должно иметь форму решения однородного уравнения, в котором
правая часть (13.23.1) равна нулю, плюс частное решение неоднородного
уравнения (13.23.1). Таким частным решением будет, очевидно, просто 6р ="
&р{х)=* Л chA + Bsh^- + g'T, (13.23.3)
(13.23.5)
После этого имеем:
(13.23.6)
а
6Р = 6ЛГ =S 5 Ьр (х) dx,
(13.23.7)
- а
(13.23.8)
= s'LpJDp=g' г.
359
13.24. Согласно формуле (13.22.13) максимальное значение скорости
поверхностной рекомбинации s равно половине тепловой скорости,
соответствующей R0 = 0. Когда s принимает это значение, выражение
(13.23.6) можно записать в виде
- ch -
6"M=.g'T|l- I % д ). (13.24.1)
2лт + т;лц
Если же считать скорость s бесконечно большой, то (13.24.1) примет вид
chf
6p(x)=g4ll-------(13.24.2)
chL
•р'
Эти два результата почти одинаковы всякий раз, когда можно пренебречь
вторым членом в знаменателе уравнения (13.24.1) по сравнению с первым.
Это имеет место при выполнении неравенства
с о D п
{> ^ (13.24.3)
Однако поскольку, согласно (13.16.13), Др = 1/з^рср. то неравенство
(13.24.3) можно записать в более простом виде:
?>}¦ <13-24-4)
Таким образом, когда диффузионная длина намного превышает среднюю длину
свободного пробега, не будет большой ошибкой считать максимальную
скорость s бесконечно большой, а не равной половине тепловой
скорости. Это значительно упрощает
расчеты процессов переноса.
В германии и кремнии, при нормальных условиях при комнатной температуре,
средняя длина свободного пробега порядка 10-8 см, а диффузионные длины
обычно не меньше чем 10~3 см, даже в кристаллах с самым коротким временем
жизни избыточных носителей заряда. В этих материалах условие (13.24.4)
практически всегда удовлетворяется, хотя в других полупроводниках,
особенно с малым временем жизни избыточных носителей, это
условие может и не выполняться.
Заметим, что выражение (13.24.2) предсказывает, что бр у поверхности
равно нулю, в то время как, согласно (13.24.1), бр имеет там очень малую,
но отличную от нуля величину. Это различие между двумя выражениями для бр
существует только в пределах нескольких длин свободного пробега от
поверхности; если условие (13.24.4) удовлетворяется при расчете
поверхност-
360
ных потоков, тока фотопроводимости или других измеряемых величин, то
значительных ошибок обычно не возникает.
13.25. Для ситуации, описанной в условии задачи, уравнение
непрерывности для избытка носителей заряда можно записать в виде
п а(r) (бр) бр(х, о _ а (бр) 0- п
р дхг -с ~ dt '
Граничные условия у поверхности
+D*Plr]±a = s^(±a- 0. (13-25.2)
а у границы зерна внутри кристалла
±d4tL=s°6p(0> (13-25-3)
Мы должны также учесть, что в начальный момент (/ = 0)
бр(х, 0)=/(*), (13.25.4)
где f (х) - заданная функция начального распределения избыточных
носителей заряда.
Предполагая, что решение уравнения (13.25.1) имеет вид бр (х, t) = X (х)
Т (/), и разделяя переменные, можно прийти к уравнениям
1 d*X 1 dT . 1 , , /1Q ос с.
X dx2 DpT dt Dpi " -const-. (13.25.5)
Здесь первое выражение (слева) является функцией только х, в то время как
второе - функцией только t. Если эти два выражения равны между собой для
всех значений х at, то каждое из них должно быть равно константе.
Константу берем в виде - ос2, для того чтобы быть уверенными в том, что
она будет отрицательной, так как (позднее в этом можно убедиться)
положительные величины приводят к решениям, которые с увеличением t
возрастают, а не уменьшаются.
Итак, (13.25.5) сводится к двум отдельным простым дифференциальным
уравнениям: одно для X (х) и другое для Т (t),
(13.25.6)
(13.25.7)
в следующей форме:
Эти уравнения легко решить, в результате получим
X (х) - A cosajf + 5 sin ах,
Т (t)-C ехр [- (аЮр + "7) *]¦
(13.25.8)
(13.25.9) 361
где А, В и С - произвольные постоянные. Эти решения удовлетворяют
уравнению (13.25.1) для любых значений ос, а поскольку уравнение
(13.25.1) является линейным дифференциальным уравнением в частных
производных, то любая линейная комбинация решений, имеющая форму
произведения X(x)T(t), будет также удовлетворять дифференциальному
уравнению, даже если величина ос различна для различных слагаемых
линейной комбинации. Общее решение уравнения (13.25.1) можно поэтому
записать в виде
6р(х, /) =
= 2 {An cos (ос"*) +Вп sin (ос"*)] ехр (a%Dp + -7) *]. (13.25.10)
где коэффициенты Ал и Вп определяются так, чтобы при t = 0 ряд давал
бр(*, 0).
Ряд (13.25.10) будет, конечно, удовлетворять граничным условиям (13.25.2)
и (13.25.3), если им будет удовлетворять каждый
