Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Полные потоки Fi и F[, протекающие между поверхностной и объемной
областями, можно определить, если заметить, что поток Fi состоит из
потока А плюс та часть F'u которая отражается от внутреннего объема, a F[
состоит из потока g, плюс та часть Fx, которая отражается от поверхности.
Таким образом, можно записать
F1=>A + BF[, (13.22.1)
Fl = g,+RoFi- (13.22.2)
Из этих двух уравнений можно найти Fx и F[:
Л = (13.22.3)
F[ - (13.22.4)
356
На основе статистики Максвелла - Больцмана легко показать, что суммарный
поток частиц, движущийся в произвольном направлении через произвольную
плоскость, есть как раз 1/ipCp, где р - концентрация и ср - средняя
тепловая скорость. Поскольку в состоянии теплового равновесия р = р0,
поток должен свестись к потоку F[\
Ъ = Л'=4ровр. (13.22.5)
Подставляя это выражение вместо Fx и F[ в уравнения (13.22.1) и
(13.22.2), найдем gs и А0 {А0 - величина А при тепловом равновесии):
& = !р0гР(1-Я0), (13.22.6)
А0 = \р0сЛ1-В). (13.22.7)-
Если состояние системы не является равновесным, то в кристалле будут
существовать градиенты концентрации и потоки Fx и F[ в любой точке
образца больше не будут равны. Если отклонение от равновесия достаточно
мало, то функция распределения будет все же приблизительно максвелловской
и суммарные потоки в произвольном направлении будут все же даваться
выражениями того же общего вида, что и (13.22.5).
Однако поскольку частицы, поступающие слева к точке дг,
начали свое движение в среднем из точек на расстоянии
порядка
средней длины свободного пробега слева от дг, а частицы, поступающие к
точке х справа, начали свое движение в среднем из точек на расстоянии
порядка средней длины свободного пробега справа от дг, то концентрации,
которые нужно использовать в этих выражениях, есть локальные концентрации
на малом расстоянии слева или справа от точки, в которой определяются
потоки. Поэтому можно записать
F[ =*'С{ Р (х + ¦ак) ъ С{ (р (х) (13.22.8)
F, = е{- р (х - аК) (р (дг) - аК , (13.22.9)
где К - средняя длина свободного пробега, а а -числовая постоянная
порядка единицы. Выражения справа получаются с помощью разложения в ряд
Тейлора; предполагается тем самым, что относительное изменение
концентрации в пределах длины среднего свободного пробега мало, и поэтому
членами более высоких порядков можно пренебречь.
Из (13.22.8) и (13.22.9) легко видеть, что в рассматриваемом случае сумма
F± и F[ должна быть равна 1l2psCp, где р$ - концентрация
у поверхности. Складывая выражения (13.22.3) и
357
(13.22.4) и приравнивая сумму величине V2PsCp. для А получим
г+?,+Д>- (13-22Л°)
Необходимо отметить, что при нарушении равновесия поток А вследствие
генерации избыточных носителей, имеющей место в объеме, будет отличаться
от своего равновесного значения <40, хотя, конечно, поток gs будет таким
же.
Разность между и F\ есть просто суммарный поток дырок у поверхности,
который должен равняться диффузионному потоку - Ър<9 (6р)/дх в этой
точке. Вычитая (13.22.4) из (13.22.3) и подставляя значение А в виде
(13.22.10), окончательно получим
Это выражение и является граничным условием для уравнения непрерывности у
поверхности кристалла. Оно обычно записывается в следующей форме:
-D"Plrl = s?6^' (13.22.12)
где
е" l-R0
S = TT+R~o' (13-22-13)
Параметр s имеет размерность скорости и обычно называется скоростью
поверхностной рекомбинации. Величина его колеблется от нуля (в этом
случае концентрационный градиент у поверхности равен нулю) до
максимальной величины V2ср, соответствующей поверхности, на которой
осуществляется рекомбинация каждой попадающей на нее дырки.
13.23. Пусть ось х перпендикулярна плоским граням образца, а начало
координат помещено в центр кристалла так, чтобы поверхности находились
при х = ±а. Поскольку в стационарных условиях V (бр) не может иметь у- и
z-компонент, а электрическое поле не имеет х-компоненты, то член Е ¦ V
(6р) в уравнении непрерывности обращается в нуль. Кроме того, в
стационарных условиях д (?>p)/dt = 0. Падающий свет создает постоянное
количество электронно-дырочных пар g' в единице объема за единицу времени
во всех точках внутри образца. Наконец, симметрия образца такова, что
избыточная концентрация носителей не изменяется вдоль направлений у или
г, поэтому
V2 (6р) = d2 (6p)/dx2.
При этих условиях уравнение непрерывности (13.18.17) примет вид
?йа_"е=_?, (13.23.1)
dxг Lp D0 ' '
где
Lp = (Dpx)1/2. (13.23.2)
358
Запишем решение уравнения (13.23.1) в следующем виде*):
где А и В - произвольные постоянные. Но из симметрии задачи ясно, что бр
должна быть четной функцией х и, следовательно, В = 0. На поверхностях
(при х - ±а) должно выполняться граничное условие
q=Dp[^]±e = s-6p(±fl). (13.23.4)
Учитывая в уравнении (13.23.3), что В = 0, и используя граничное условие
(13.23.4), можно определить постоянную А, которая, как легко показать,
есть
Прирост проводимости кристалла под действием облучения будет
пропорционален общему числу избыточных носителей в образце; последнее
