Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
*) Под серией Кардано принимал все возможные исходы, т.е. 36 при бросании двух костей и 216 при бросании трех костей.
**> Б о бы нин В.В. Яков I Бернулли и теория вероятностей // Мат. образование. - 1914. №4.
***)Оге О. Cardano. The gambling scholer. - Princeton, 1953.
Гл. 1. Предыстория понятия вероятности
К задаче о разделе ставки вновь вернулся Н. Тарталья в книге ’’Обший трактат о мере и числе”, которая была опубликована в 1556 году. Его подход изложен в § 20 книги, озаглавленном ’’Ошибка брата Луки из Борго”. Критические замечания Тарталья верны и имеют под собой серьезный здравый смысл. Вот его слова: ’’Это его правило мне не кажется ни красивым, ни хорошим, потому что если бы одна из этих сторон имела 10, а другая вообще не имела никакого очка, то действуя по такому правилу, получилось бы, что одна сторона, имеющая указанные 10 очков, должна была бы взЯть все. а другая не получила бы ничего, что было бы совершенно лишено смысла.”
Для первой задачи Пачоли (сизмененным условием) Тарталья предложил следующее решение: первый игрок, набравший 10 очков, должен получить, во-первых, половину всей ставки и, во-вторых, (10-0) /60 всей ставки, или 22/6 дуката, т.е. всего 14 и 2/3 дуката, а второй 7 и 1/3 дуката.
Мы увидим, что решение, предложенное Тарталья, также ошибочно. Но следа'ет согласиться с тем, что трудно было бы требовать от него самого и его предшественников правильного решения, поскольку в науке для этого еще не было выработано необходимых понятий - понятия вероятности и математического ожидания. Следующее замечание Тарталья убедительно показывает, что он и сам не доверял своему решению. Вот эти слова: ’’Разрешение такого вопроса является скорее делом юриспруденции, чем разума, гак что при любом способе решения этой задачи найдутся поводы для споров, но тем не менее наименее спорным, как мне кажется, будет следующее ... ”. Далее он предложил делить ставку по такому правилу : отклонение выигрыша от половины ставки должно быть пропорционально разности выигранных партий. В только что приведенном примере, в котором игра шла до шестидесяти очков и ставка равнялась 22 дукатам, первый игрок выиграл 10 партий, а второй - 0, доли игроков согласно предложению Тарталья таковы:
14 и 2/3 = 11 + (10 - 0)/60 • 22 и 11 + (0 - 10)/60 • 22 = 7 и 1/3.
В 155 8 г. была опубликована книга Г.Ф. Певероне ’’Два коротких и легких трактата по началам арифметики и основам геометрии”. В этой книге без указания предшественников была рассмотрена задача о разделе ставки. Формулировка задачи такова: два лица А и В играют в мяч до выигрыша одним из них 10 партий. В тот момент, когда игрок А выиграл 7 партий, а игрок В - 9, они решили прекратить игру. Как следует разделить ставку между игроками?
Певероне предложил разделить ставку в отношении 1 к 6, т.е. игроку .4 отдать 1/7 ставки, а игроку В — 6/7 ставки. Это решение неправильно. Легко подсчитать, что А должен получить 1/8, а игрок В - 7/8 ставки. В то же время он дал правильное решение в двух случаях, когда игроки А и В выиграли по 9 партий, а также в случае, когда игрок А выиграл 8 партий, а игрок В — 9 партий.
§ 3. Исследования Галилео Галилея
Мы видим, что уже в XVI веке возникли задачи чисто вероятностного характера и упорно разыскивались подходы к их решению. Это неизбежно приводило к необходимости развития, с одной стороны, комбинаторных методов, а с другой стороны -к поиску тех понятий, в терминах которых было бы можно описывать возникающие ситуации. Ошибки, допущенные одними исследователями, подмечались другими. Эти другие предлагали свои способы решения, которые в свою очередь подвергались критическому анализу. Постепенно вырабатывались подходы, которые позднее становились основой новой теории и, во всяком случае, позволяли решать отдельные задачи.
§ 3. Исследования Галилео Галилея
391
Заслуживает внимания вклад в этот прогресс известного естествоиспытателя, ученого широких интересов и взглядов — Галилео Галилея (1564-1642). Его работа ’’О выходе очков при игре в кости”, увидевшая свет только в 1718 г., была посвящена подсчету числа возможных случаев при бросании трех костей. Число всех возможных случаев Галилей подсчитал самым простым и естественным путем — он возвел 6 (число различных возможностей при бросании одной кости) в третью степень и получил 63 = 216, что неоднократно непосредственным подсчетом получалось и ранее.
Далее Галилей подсчитал число различных способов, которыми может быть получено то или другое значение суммы выпавших на костях очков. Ясно, что эта сумма может принимать любое значение от 3 до 18. При подсчете Галилей пользовался полезной идеей - кости нумеровались (первая, вторая, третья) и возможные исходы записывались в виде троек чисел, причем на соответствующем месте стояло число очков, выпавшее на кости с данным номером. Эта простая мысль для своего времени была весьма полезной. Приведем теперь подлинные слова Галилея: ’’...хотя 9 и 12 получаются в результате стольких же комбинаций, как 10 и 11, и вследствие этого должны были бы признаваться равноценными, мы видим, тем не менее, что в результате продолжительных наблюдений игроки все же считают более выигрышными 10 и 11, чем 9 и 12. Совершенно очевидно, что 9 и 10 (мы говорим о них, имея в виду также 12 и 11) получаются из того же числа комбинаций: 9 из 1, 2,6 - 1,3,5 - 1,4,4 - 2,2,5 -2,3,4 — 3,3,3, т.е. из шести троек, а 10 из 1,3,6 - 1,4,5 — 2,2,6 — 2,3,5 — 2,4,4 — 3,3,4 и ни при каких других сочетаниях, кроме этих шести” (G.Galilei, Opera, t. XIV, p. 293, Fioientina, 1855).
