Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Первые данные
387
ностей. Одинаковые числа очков на всех костях можно получить только единственным способом; одинаковые числа очков на двух костях, а третье отличное от них — тремя способами”.
Хотя в тексте явно указано лишь число случаев по Виболду (56), но фактически Ричард це Форниваль полностью подготовил подсчет обшего числа равновероятных случаев при бросании трех костей, а именно 6 • 1 + 30- 3 + 20-6 = 216.
Далее Форниваль привел таблицу, в которой вычислены числа способов, которыми может быть получена данная сумма очков на всех трех костях. Мы приведем эту таблицу в укороченном виде. В первых двух столбцах приведены суммы очков на трех
. Таблица 18
Сумма Число Сумма ! Число 1 --- ' _Т' Число
способов ! способов ! Сумма : способов
1 ... I
3 18 1 6 15 1 9 12 25
10
4 17 3 7 14 15 ¦10 11 27
5 16 6 8 13 21
костях, а в ipeibeM столбце - число различных случаев, при которых реализуется эта сумма. Все подсчеты выполнены без ошибок, да и рассуждения, проведенные автором, вполне логичны и даже можно сказать современны в нашем смысле слова. Эго обстоятельство заслуживает быть отмеченным, поскольку эти же самые подсчеты через двести с лишним лет были выполнены неправильно. А именно в 1477 г. Бенвенуто Д Имола издал в Венеции ’’Божественную комедию” Данте, снабдив ее комментариями. В комментарии к VI части ’’Чистилища”, в которой говорится об игроке в кости, Д’Имола произвел подсчеты шансов. Согласно его рассуждениям сумма очков при бросании трех костей, равная 3, 4, 17 и 18. может получаться одним единственным способом. Ошибка Б. Д’Имола очевидна и ее нет нужды комментировать.
Заслуживает специального упоминания одна из первых математических книг начала эпохи итальянского Возрождения, написанная Лукой Пачоли (ок. 1445 -ок. 1514) и носившая наименование ’’Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности”. Написана эта книга была в 1487 г., но издана лишь через семь лет в Венеции. Поскольку задачи Луки Пачоли сыграли определенную роль в формировании интереса к теории вероятностей, мы приведем их формулировку. В разделе ’’необычных задач” в упомянутой книге были помешены две следующие:
1. Компания играет в мяч до 60 очков и делает ставку в 22 дуката. В связи с некоторыми обстоятельствами игра прекращена до ее окончания причем одна сторона в этот момент имеет 50, другая - 30 очков. Спрашивается, какую часть обшей ставки должна получить каждая сторона?
2. Трое соревнуются в стрельбе из арбалета. Кто первым достигнет 6 лучших попаданий, тот выигрывает. Ставка 10 дукатов. Когда первый получил 4 лучших попадания, второй 3, а третий 2, они не хотят продолжать и решают разделить приз справедливо. Спрашивается, какой должна быть доля каждого?
Пачоли предложил решение, которое позднее многократно оспаривалось, поскольку оно было признано ошибочным. А именно, он предложил делить ставку пропорцио-1з*
388
Гл. 1. Предыстория понятия вероятности
нально числу выигранных партий. Таким образом в первой задаче решение Пачоли таково: первый должен получить 5/8 ставки, т.е. 13,75 дуката, а второй 3/8 ставки, т.е. 8,25 дуката. Во второй же задаче, согласно Пачоли, первый должен получить 4 и 4/9 дуката, второй 3 и 3/9 дуката и третий 2 и 2/9 дуката'.
§ 2. Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья
Несомненно, что существенное продвижение в решении первичных задач теории вероятностей связано с именами итальянских ученых Дж.Кардано (1501-1575) и
Н.Тарталья (ок. 1499-1557). В рукописи ’’Книга об'игре в кости”, датированной самим Кардано 15 26 г., но изданной лишь в 1563 г., были решены многие задачи, связанные с бросанием игральных костей и выпадением на них того или иного числа очков. Он правильно подсчитал числа различных случаев, которые могут произойти при бросании двух и трех костей. Словесные формулировки при этом достаточно сложны. Вот, для примера, что он писал в главе XI ’’О бросании двух костей”: ’’При бросании двух костей возможны 6-случаев по два одинаковых числа и 15 случаев выпадения разного числа очков, т.е., считая и двойные, 30. Следовательно, всего возможно 36 случаев”. Под двойными выпадениями он понимает выпадение на двух костях очков, получаемых перестановкой. Например, двойным к случаю выпадения на первой кости 2 очков, а на второй 5 будет выпадение 5 очков на первой кости и 2 на второй.
Кардано указал далее число возможных случаев появления хотя бы на одной кости определенного числа очков. Таких случаев оказалось 11. Заслуживают упоминания слова Кардано: ’’число это меньше, чем число случаев отсутствия данного числа очков. По отношению к общему числу случаев при бросании двух костей оно составляет больше одной шестой и меньше одной четверти”. Здесь у Кардано ошибка: нужно было сказать меньше одной трети, поскольку 11/36 не меньше, а больше 1/4.
