Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 135

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 176 >> Следующая

378

Гл. 11. Элементы статистики

пределения ? равна

0 при х < О,

F( х ) = 1 — р при О < х < 1,

1 при х > 1.

Параметр р, от которого зависит распределение, неизвестен. Наша задача состоит в том, чтобы проверить гипотезу р<р0.

Пример 2. Случайная величина % распределена нормально Сх-а)2

р(х) =

1

2 о

о V 2тг

параметры а и о неизвестны. Требуется проверить гипотезу, что

| д - я0 | < а и а < а0,

где а0, о0 и а — некоторые известные числа. Эта и аналогичные задачи постоянно возникают в теории измерений, а также в естественно научных и производственных задачах.

Обозначим через п число наблюдений, на основании которых необходимо сделать заключение о подтверждении или опровержении сделанной гипотезы. Пусть

*1, *2, • ¦ •, х„ (1)

результаты этих наблюдений. Процесс проверки, ведущий к подтверждению или опровержению гипотезы, есть некоторое правило, согласно которому множество всех возможных результатов п наблюдений разбивается на две непересекающиеся части RnX и Rn2- При этом принадлежность чисел (1) к множеству Rnl будем считать подтверждением проверяемой гипотезы, а принадлежность их к множеству Rn 2 — отрицанием проверяемой гипотезы. Если мы станем изображать числа (1) как координаты л-мерного евклидова пространства Rn, то, очевидно, каждый процесс проверки означает разбиение пространства Rn на части Rnl и Rn2 ¦ При этом, если точка (хь Хг, хп) оказывается в части Rnl, то гипотеза принимается, а если (*i, хг, хп) оказывается в части Rn2, то гипотеза отбрасывается. Множество Rn2 носит название критической области. Выбор правила проверки, таким образом, эквивалентен выбору критической области.

Для иллюстрации вернемся к примеру 1. Множество Rn в зтом случае состоит из всевозможных совокупностей п чисел, каждое из которых мо-
§ 64. Проверка статистических гипотез

379

жет принимать лишь значения 0 и 1. Критическая область Rn2 состоит из тех элементов Rn, для которых

+ х2 + ... + х„) > р0.

Мы перейдем теперь к следующей частной задаче проверки гипотез, для которой имеется исчерпывающее решение: имеются две простые гипотезы Н1 и Н2. Гипотеза Яj состоит в том, что б(. = в( (/ = 1, 2, ..., к), гипотеза Н2 — в том, что 6{ = б,- (/ = 1, 2, ..., к). Эти гипотезы конкурируют друг с другом и на основании произведенных наблюдений требуется одной из них отдать предпочтение.

Заметим, что при подтверждении или отрицании гипотезы Ну мы можем совершить ошибки двух видов. Ошибку первого рода мы совершаем тогда, когда отвергаем Hi в то время, когда в действительности она верна. Иными словами, ошибки первого рода имеют место тогда, когда точка (*i, х2, ..., х„) попадает в область Rn2 в то время, когда верна гипотеза Н!. Ошибку второго рода мы совершаем, если принимаем Н t в то время, когда она неверна. Если критическая область выбрана, го вероятности ошибок первого и второго рода можно рассчитать; обозначим их для данных п и Rn2 соответственно буквами (*1 и а2.

Понятно, что чем меньше для данной критической области числа «j и а2, тем удачнее выбрана критическая область. Однако при данном числе испытаний п невозможно ни при каком выборе критической области одновременно сделать как угодно малыми оба числа и а2. В то же время изменением критической области мы можем добиться произвольной малости ошибок первого или второго рода в отдельности. Так, если положить Rn2 = Rn, то ясно, что в этом случае а2 = 0; если же положить Rnl = Rn, то с*! = 0. Отсюда вытекает следующий рациональный принцип выбора критической области: при заданных значениях и п нужно выбирать ту область Rn2, для которой а2 достигает минимума. При этом, конечно, чем меньшее значение (*1 мы выбираем, тем большее значение получается для минимума а2. Заранее нельзя сказать, какое нужно выбрать, чтобы метод проверки гипотезы был самым выгодным, так как основную роль при этом играет практическая сторона дела.

Пусть для примера отбрасывание или прием гипотезы Нj связаны с материальными затратами. Если прием гипотезы Ни в то время как она неверна, приводит к большим затратам (скажем, к необходимости ручной подгонки некоторых деталей, поступающих для сборки на некоторое предприятие), тогда как отбрасывание гипотезы в то время как она верна, приводит к сравнительно небольшим потерям, то ясно, что необходимо выбрать возможно меньшее а2 и при этом можно помириться со сравнительно большими значениями .
380 Гл. 11. Элементы статистики

Предположим, что практические соображения приняты в расчет и величина а, выбрана; тогда имеет место следующее предложение, которое мы сформулируем лишь для того случая, когда величина % имеет конечную плотность распределения вероятностей, как при гипотезе Hlt так и при гипотезе Н2 ¦

Теорема. Среди всевозможных критических областей, для которых вероятность ошибок первого рода равна а,, вероятность ошибок второго рода принимает наименьшее значение для критической области R*n2, состоящей из всех тех точек (х,, х2 ,..., хп), для которых
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed