Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
374 Гл. П. Элементы статистики
При этом
ns\= 2 (*'к-*')г* 2 x'kJ-nx'2 = 2 yl-y\= 2 yl к =1 к=1 fe=1 fc = 2
и, следовательно, х — а у у
V и 2 >4
к ~ 2
Так как
П
ук = 2 а*,-*,',
(= 1
где величины afci удовлетворяют соотношениям
1 при г = к.
2 a,ya/fc =
/ = 1 10 при i Ф к
и величины xj нормально распределены, то величины ук также нормально распределены. Далее ЪАук = 0 (к = 1, 2,п), Наконец, из того, что
п п г а2 при / = к,
Mytyk= 2 (Хуа/кМх-2 ~ о2 2 a,7a/7( =
/= 1 /н 1 10 при / Ф к,
мы заключаем о независимости величин ук (к = 1,2, ..., и) и о том, что ?>Ук = ог (fc= Ь 2,..., п).
Так как далее
У 1 />/« - 1
V 2 у\ v( 2 У2к)1(п - О
к = 2 к-2
и в этой дроби числитель и знаменатель независимы, причем плотность рас-
§ 63. Доверительные границы 375
пределения числителя равна
V7TT
----— е
o\j2 п-
а плотность распределения знаменателя (согласно § 21 распределение х2) равна
____ у1
у/2(п - \) I у\/ п - \\п~2
е
а Г
О - 1) / У\/п - 1 V
то согласно § 21 (распределение Стьюдента) плотность распределения У i
частного ------------- равна
2 У1
к = 2
г(”/2) о
^г(^)
Плотность распределения величины -------------—-------, как в этом легко убе-
Jп 2 у2
I
диться, равна
к к- 2
\/п Г (п/2)
(р(х | а, а) = -----------;--------- (1 + пх) п,
следовательно,
( а-х ) у/пГ(п/2) Сгг
Р с,<— <с2\ =----------------77ГГ7\ f 0+«*2) n!2dx.
Si V п
МЧ1)
376 Гл. 11. Элементы статистики
Эта вероятность не зависит от значений, которые принимают параметры а и а. Мы можем поэтому сказать, что в третьей задаче доверительная вероятность правила
с!у/п < а - х < c2Si у/п равна
у/п Г(и/2) w--------------/ (1+ях2) n!2dx.
V
Нам остается найти доверительную вероятность правила, устанавливающего границы для а. Использовав произведенные нами преобразования, находим, что
P{(V < a < a2 | а, а} = Pi t2 < ---------- < tx | а, а } =
= Р{t2a < у/ 2 ^ а | д, а}.
к = 2
Отсюда, в силу результатов §21 (распределение х2)
г, а
г---г У {п-1)
V” - 1
yj2(п - 1) 1У\1п— 1\" 2 2(j2
P{a,' < a < a2'| д, a} = ——-L f ^e
or(^ „„ V »VT 1
dy-
' n — i \ \ _ nr i
оГ( ^ ( _____
V Л-1
.2
f zn~2e 1 dz.
n - з
2 2 Г
(^)
Снова эта вероятность не зависит от значений параметров а и о. Следовательно, правило
§ 64. Проверка статистических гипотез
377
имеет доверительную вероятность, равную
1
г Т
со
dt.
п - 3
2
2
Г
Заметим в заключение, что из того, что при любых 01, в-2, ..., дк имеет место равенство
еще не следует, что
со = Р(0'Оь*2.-.*л) <
< в < 0''(хьх2.....Х„)|ХЬХ2,...,Х„}.
§ 64. Проверка статистических гипотез
Предположим, что нам известна функциональная форма распределения случайной величины но неизвестны значения параметров 0l5 в2, ..., вк, от которых оно зависит. Имеются основания считать, что параметры имеют некоторые определенные значения вг = в°, 02 = в2, ..., вк = 0^ (простая гипотеза) или же принадлежат некоторому множеству (сложная гипотеза). Требуется выяснить, подтверждают или не подтверждают эту гипотезу результаты наблюдений над величиной |.
Для того чтобы подчеркнуть практическую важность задачи, рассмотрим примеры.
Пример 1. Имеется большая партия продукции некоторого производства. Каждая единица этого продукта относится к одной из двух категорий: годная, бракованная. Вся партия считается пригодной к сдаче, если относительное число р бракованных единиц продукта невелико, скажем, не больше, чем некоторое число р0 (0 < р0 < 1). Число р нам неизвестно; его нужно найти путем исследования сравнительно небольшого (по отношению ко всему объему партии) числа изделий. Рассмотрим случайную величину |, равную 0, если взятое наудачу изделие окажется пригодным, и равную 1, если взятое наудачу изделие окажется бракованным. Функция рас-
Р{0' < 0 < 0"|0t, 02, вк\ = со
и из него вытекает равенство
Р{0' < 0 < 0"} = со,
