Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 145

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 176 >> Следующая


Несомненно, что первые три предложения составляют идейную основу всего сочинения Гюйгенса и поэтому приведем их полностью.

Предложение I. Если я имею равные шансы получить а или Ъ, то это мне стоит (а + Ь) /2.

Предложение 2. Если я имею равные шансы на получение а, Ь, или с, то это мне стоит столько же, как если бы я имел (а + b + с)/3.

Предложение 3. Если число случаев, в которых получается сумма а, равно р, а число случаев, в которых получается сумма Ь, равно ?, то стоимость моего ожидания равна (ар + bq)/(р + q).

Для нас ясно, что этими предложениями Гюйгенс ввел понятие математического ожидания для случайной величины, принимающей два или три значения. Если использовать современные представления,. то в первых двух предложениях значения, принимаемые случайными величинами, равновероятны, а в третьем предложении вероятность значения а равна р/(р + q) и вероятность значения Ъ равна q/{p + q). У Гюйгенса еще понятие вероятности не выделено, и он все время оперирует с числами шансов, благоприятствующих тому или другому событию. Гюйгенс предпочел, так сказать, коммерческую терминологию и говорил о стоимости, за которую он готов уступить свое право на получение выигрыша. Термин ’’ожидание” был введен в употребление учителем Гюйгенса - Схоутеном - при переводе.

Предложения 1 и 2 представляют собой ничто иное как версию задачи о разделе ставки. Мы приведем текст Гюйгенса с тем, чтобы читатели убедились насколько близки его рассуждения к рассуждениям Паскаля.

"Предположим, что я играю против другого лица на то, кто первым выиграет 3 партии, и что я уже выиграл 2 партии, а он - 1. Я хочу знать какая часть ставки причитается мне, когда мы хотим прервать игру и справедливо разделить ставки . . . Нужно заметить сначала, что достаточно принять во внимание число партий недостающих той и другой стороне. Так как верно, что если бы мы играли на то, кто выиграет 20 партий, и если бы я выиграл 19 партий, а мой противник 18, то я имел бы такое же самое преимущество, как и в изложенном случае, где при трех партиях я выиграл
398

Гл. 1. Предыстория понятия вероятности

пнр а он только одну, а это потому, что в обоих случаях мне недостает только одной партии, а ему двух*). Затем, чтобы вычислить часть причитающуюся каждому из нас, нужно обратить внимание на то, что произошло бы, если бы мы продолжали игру. Верно и то, что выиграв партию, я получил бы полностью сумму ставки, которую обозначу а. Но если первую партию выиграет мой противник, то наши шансы станут равными, принимаю во внимание, что каждому из нас будет недоставать по одной партии; значит, каждый из нас имел бы право на д/2, что согласно первому предложению, эквивалентно сумме половин, т.е. (3/4)д, так что моему сопернику остается (1/4)д”.

Разделение ставки между тремя игроками Гюйгенс рассмотрел в предложении VIII, когда первому игроку недостает до выигрыша всей игры одной партии, а второму и третьему - по две партии. В предложении IX он рассмотрел вопрос о разделе ставки между тремя игроками, но при произвольном состоянии игроков. Общего выражения для решения этой задачи им дано не было и он изложил только принципы сведения общей задачи к частным случаям.

Формулировки предложений 10 - 14 следует признать недостаточно четкими. Их содержание полностью проясняется лишь при рассмотрении предложенных Гюйгенсом вопросов. Приведем некоторые из них.

Предложение 10. Определить при скольких бросаниях можно обязаться выбросить одной костью шесть очков?

Конечно, задача сформулирована весьма неопределенно. Нам ясно, что автору нужно понятие вероятности для точной формулировки его вопроса, а этого понятия еще нет. Речь же идет о вероятности того, что при п бросаниях (и = 1,2,...) хотя бы раз появится на кости шестерка.

Решение Гюйгенса состоит в следующем: при бросании имеется один шанс выкинуть 6 очков и 5 шансов получить другие грани. Если разыгрывается сумма д, то шанс получить эту сумму, согласно предложению 3, будет стоить (I • а + 5 • 0)/6 = д/6.

’’Тому, кто предложил ему бросить кости, остается 5д/6. Значит, тот, кто играет партию в одно бросание, может ставить только 1 против 5.”

При двух бросаниях кости вычисления стоимости игры Гюйгенс проводит следующим путем. ’’Если 6 очков получается при первом бросании, то бросающий получает д, но на это у него имеется 1 шанс, и имеется 5 шансов, что это не произойдет. Но тогда имеется еще второе бросание, которое стоит ему, согласно предшествующему вычислению а/6. Отсюда следует, что игра должна стоить играющему^ д + д^/6 =

= 11д/36. Аналогичным путем Гюйгенс получает для грекратного бросания кости стоимость игры, состоящей в том, что хотя бы раз выпадет грань с числом очков 6, равную 91а/216. Далее он вычислил стоимость подобной игры при четырехкратном, пяти и шестикратном бросании косги. Результаты получились такими: 671д/1296,

4651а/7776, 31031д/46656.

В предложении 11 Гюйгенс рассматривает такую задачу: "Найчи во сколько бросаний можно обязаться выбросить две шестерки?” Для нас эта формулировка неопределенна. Она должна быть сформулирована так: если при бросании двух костей игрок
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed