Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
1. Сколько раз надо подбросить две кости, чтобы число случаев, благоприятствующих выпадению хотя бы раз сразу двух шестерок, было больше, чем число случаев, когда ни при одном бросании не появляются две шестерки одновременно?
2. Как нужно разделить ставку между игроками, когда они прекратили игру, не набрав необходимого для выигрыша числа очков?
Де Мере претендовал, что первую задачу он решил. Однако при ближайшем рассмотрении в его рассуждениях легко обнаружить ошибку А именно, в одном из писем ас Мере Паскалю содержимся такая фраза: "Нели в одном случае есть один шанс из Л„ в единственной попытке и в другом случае один шанс из Л', . то отношение соответствующих чисел есть Л'и: Л\ . Таким образом, я0 : Л0 =п , : .V, ”.
Обозначения и смысл этой фразы требуют пояснения. В приведенном письме речь идет о следующем: при бросании одной кости имеется Л0 - 6 различных исходов и выпадению шестерки благоприятствует один из них. При бросании двух костей сразу выпадению шестерки на дв).\ костях благоприятствует лишь один исход из Л', = 36 возможных. При бросании одной кости п0 (= 4) раз число благоприятствующие исходов для выпадения шестерки первосходит число благоприятствующих случаев ее неныпадения. Символом л, обозначим число бросаний двух костей, при коюром число благоприятствующих случаев выпадения одновременно двух шестерок превзойдет число благоприятствующих случаев для их невыпадения ни разу. Из правила де Мере вытекает, что уже при 24 бросаниях двух костей наступает интересующее нас событие.
В действительности правило де Мере ошибочно, поскольку вероятность того, что при четырех бросаниях одной кости ни разу не появится шестерка, равна (5/6) 4 = = 625/1 296 и. значит, искомая вероятность равна I - 625/1 296 = 671.1296. В этом пункте де Мере оказался прав, но при 24 бросаниях двух костей вероятность ни разу не выбросить сразу две шестерки равна (35/36)“ = 0,509. а искомая вероятность хотя бы раз выбросить две шестерки сразу есть I - (35/36)24 = 0.491. Легко понять, что двадцати четырех бросаний еще недостаточно, а нужно по меньшей мере двадцать пять бросаний двух костей, чюбы вероятность выпадения сразу двух шестерок превосходила 0,5.
При изложении мы воспользовались современным языком и употребляли понятие вероятности. Подход де Мере бы., обычным для того времени и ограничивался лишь подсчетом числа благоприятствующих тому или иному событию шансов.
§ 4. Вклад Б. Паскаля и П. Ферма
395
Основное содержание писем Паскаля и Ферма посвящено разделу ставки. Решение, предложенное Паскалем, в подробностях изложено в письме от 29 июля:
"Вот примерно, что я делаю для определения стоимости каждой партии, когда два игрока играют, например, на три партии и каждым вложено по 3 2 пистоля.
Предположим, что один выиграл две партии, а другой одну. Они играют еще одну партию, и если выигрывает первый, то он получает всю сумму в 64 пистоля, вложенную в игру; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь по 2 выигранных партии, и, следовательно, если они намерены произвести раздел, каждый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоля.
Примите же во внимание, монсеньер, что если первый выиграет, то ему причитается 64: если он проиграет, то ему причитается 32. Если же игроки не намерены рисковать на эту партию и хотят произвести раздел, то первый должен сказать: ”Я имею 3 2 пистоля верных, ибо в случае проигрыша я их также получил бы, но остальные 3 2 пистоля могут быть получены либо мной, либо Вами, случайности равны. Разделим же эти 32 пистоля пополам, и дайте мне, кроме того, бесспорную сумму в 32 пистоля”.
Далее Паскаль рассмотрел яругой случай, когда первый игрок выиграл две партии. а второй ни одной и третий, когда, первый игрок выиграл одну партию, а второй ни одной. В обоих случаях рассуждения при решении подобны тем, которые уже были проведены. Ответы же. предложенные Паскалем, таковы: в первом случас один игрок должен получить 56, а второй - 8 пистолей; во втором же 44 и 20.
Решение, которое для задачи Паскаля предложил Ферма, дошло до нас только по изложению, которое содержится в письме Паскаля от 24 августа. Письмо же Ферма с оригинальным текстом не сохранилось. Пусть до выигрыша игроку А недостает двух партий, а игроку В - трех партий. Тогда для завершения игры достаточно сыграть еще максимум четыре партии. Их возможные исходы представлены в виде следующей таблицы:
Та б л и ц а 20
Партии Возможные исходы партий
1 А А А А А В А А ABBA ВВВА
А А А В ВАЛ В В А В А В В А В
ЛАВА ВАЛА В ВАЛ В А В В
4 А А В В А В А В А ВВВ
В В В В
игра выиг А после А после А после В после
рана игроком двух партий четырех трех трех или четы
