Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
*) Заметим, что это место выглядит убедительно лишь в предположении равносильности игроков. Однако если из двух партий обе выиграл игрок А, то это наводит на мысль о том, что он играет лучше, чем игрок В. Если же А выиграл 20 партий, а В - 18, то представление об их равносильности становится более убедительным.
Позднее неоднократно рассматривались многочисленные задачи с учетом неравносильности игроков. Такие задачи затем получали интерпретацию на языке физики и инженерного дела.
§ 5. Работа X. Гюйгенса
399
выигрывает сумму а. то какую ставку он должен внести для участия в игре (при безобидной игре) ? Легко подсчитать, что цена игры при одном бросании должна стоить с/36, при двух бросаниях 71а/1296 и так далее. Далее Гюйгенс сделал такое замечание: ’ Я нахожу, что тот, кто играет при 24 бросаниях, имеет еще легкую невыгоду и что можно принимать с выгодою партию, играя только минимально при 25 бросаниях.”
Мы приведем теперь формулировки остальных трех предложений работы Гюйгенса.
Предложение 12. Найти такое число костей, при котором можно обязательно выбросить две шестерки при первом бросании?
Предложение 13. Найти причитающуюся каждому из нас часть общей суммы при предположении, что я бросил две кости один раз с тем условием, что если выпадет 7 очков, то выигрываю я. и что выигрывает мой противник, если выпадает 10 очков. А если выпадает другое число очков, то мы делим общую сумму поровну.
Предложение 14. Другой игрок и я поочередно бросаем две кости при условии, что я выигрываю, как только я выброшу 7 очков, и он выигрывает, как только выбросит 6 очков, и я предоставляю ему бросить первому. Требуется найти отношение моих шансов и его.”
Интересно отметить, что в письма к Каркави от 6 июля 1656 г. Гюйгенс писал, что предложение 14 его трактата соответствует одной из шести задач Ферма, которые последний сообщил Каркави.
Для полноты картины мы сформулируем все пять задач, предложенных Гюйгенсом читателям для самостоятельного решения. Их решение он опубликовал лишь в 1665 г.
1.А и В играют двумя костями на следующих условиях: А выигрывает, если он выбросит 6 очков, В выигрывает, если выбросит 7 очков. Первым бросаег/4 один раз, затем В бросает дважды, затем А бросает два раза и т.д.. пока кто-нибудь не выиграет. В каком отношении шансы А относятся к шансам 5? Ответ: как 10355 к 12276.
2. Трое игроков берут 12 фишек, из которых 4 белых и 8 черных, и играю1 на таких условиях: первый вытянувший белую фишку побеждает. А тянет первым, В -вторым, а затем С, потом опять А и т.д. В каком отношении находятся шансы одного против других?
3.А держит пари против В, что из 40 карт (по J) .‘Цикзково?: мчс и) он выберет такие, что каждая будет различной масти.
Здесь величина шансов А против В опредс.тчг г :я *ак 1 ООО к S1 .'•)
4. Имеем, как во второй задаче, 12 фишек, из которых 4 б-:лих и А черных; А д-р-жит пари против В, что в выборе 7 фишек вслепую он будет иметь 3 белых. (Опрашивается, в каком отношении стоят шансы А против 5? Если Гюйгенс имел в виду. < го будут вынуты точно 3 белых фишки, то результат 35 : 64; если же по меньшей мере 3, то 42 : 57.
5. А и В, каждый имеющий по 12 монет, играют тремя костями на условиях: если А выбросит 11 очков, то он должен дать В одну монету, но если он выбросит 14, тогда В должен дать одну монету А. Тот игрок выигрывает, который первым получит все монеты. Здесь шансы А относятся к шансам В как 244 140625 к 282 429 536 481.
Последняя задача является ничем иным как разновидностью задачи о разорении игрока.
Спустя десять лет после кончины известного философа Б. Спинозы (1632-1677), в Гааге была опубликована анонимная работа, состоящая из двух частей, далеких друг от друга по содержанию. ’’Исследование о радуге” и ’’Заметки о математической вероятности”. Проведенные исследования подтверждают предположение о том, что эти сочинения были написаны Спинозой. Во второй части работы содержалось решение первой задачи Гюйгенса и были приведены формулировки остальных четырех. Нас должно заинтересовать то обстоятельство, что в названии работы уже говорится о
400
Гл. 1. Предыстория понятия вероятности
математической вероятности, но хотя в самой работе вероятность не определяется и рассуждения ведутся над числом благоприятствующих событию случаев.
Для дальнейшего нам полезно сделать следующее замечание. В 1692 г. Д. Арбутнот (1667-1735) предпринял издание английского перевода книги Гюйгенса и к этому переводу он добавил ряд новых задач, в том числе задачу иной природы. Формулировка этой задачи такова: на плоскость наудачу бросается прямоугольный параллелепипед с ребрами, находящимися в отношении а : Ь : с. Найти отношение шансов выпадения параллелепипеда гранями ab, Ьс и са.
К концу XVII века завершался длительный период накопления первичных сведений о случайных событиях; точно поставленных задач и подходов к их решению. Многие выдающиеся умы занимались этими вопросами и с разных позиций подходили к количественной оценке возможности наступления случайного события. Ферма фактически пользовался понятием математического ожидания, использование которого для решения разнообразных задач было широко развито Гюйгенсом; Паскаль, Ферма и Гюйгенс использовали представления о теоремах сложения и умножения вероятностей и подошли вплотную к понятию вероятности, однако его они не ввели. Казалось бы, что этот шаг - переход от рассмотрения числа возможных исходов, благоприятствующих наступлению события, к рассмотрению отношения этого числа к числу всех возможных исходов - был естественен. Однако никто этого шага не сделал. Рассуждения, благодаря этому, были сложны и формулировки задач не очень точны. И если бы исследователи того времени задали себе вопрос, что возможнее при четырехкратном бросании кости хотя бы раз выбросить шестерку или при двадцатипятикратном бросании двух костей хотя бы раз выбросить на обеих костях шестерки? - они были бы вынуждены ввести классическое понятие вероятности и далее его использовать. Однако этого в XVII веке не произошло и введение в науку классического понятия вероятностей принадлежит лишь ХУШстолетию. Однако оно было исследованиями
