Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
партий партии рех партий
В этой таблице символом А обозначен выигрыш соответствующей партии игроком .4. символом В — игроком В. Номера партий идут по строкам. В первых одиннадцати исходах выигрывает игрок А, в последних пяти — игрок В. Таким образом ставка между игроками А к В должна быть разделена в отношении 11 к 5.Иными словами игрок А получит 11/16, а игрок В - 5/16 ставки. Совершенно очевидно,что Ферма, также как и Паскаль, делит ставку пропорционально- вероятностям выигрыша каждым из игроков всей игры. Но этого понятия в их руках еще нет и они вынуждены ,:.:кать иные способы выражения своих идей. В результате они сами не замечают.
396
Гл. 1. Предыстория понятия вероятности
что их исходные позиции одинаковы. Это отчетливо видно из письма Паскаля от 27 октября, в котором он писал: "Сударь, я очень доволен Вашим последним письмом, я любуюсь методом в отношении партий, тем более, что я его хорошо понимаю, он полностью Ваш, ничего общего не имеет с моим и легко приводит к той же самой цели”.
В письме от 24 августа Паскаль высказал сомнение в том, что метод Ферма можно распространить на число игроков, большее двух. Однако Ферма показал, что теми же рассуждениями можно решить задачу о разделении ставки и для случая трех игроков. Это решение им было использовано в задаче о трех игроках, когда до окончания игры игроку А недостает одной выигранной партии, а игрокам В и С - по две. Это решение вновь сопровождается таблицей, смысл которой пояснять уже нет необходимости:
Таблица 21
А А А А А А АААВВВСССВС А В В В С С С С С В
АААВВВСССААААААСВ В В В С В С С С В С
АВСАВСАВСАВСАВСАА В А С В В С А В С С
ААААААААААААААААА В В В В В С С С С С
В своем письме Паскаль отметил, что Роберваль (1604 - 1675) спросил его зачем рассматривать продолжение игры до четырех партий в тех случаях, когда уже ясно какой из игроков выигрывает игру? Паскаль явно понимал, что это необходимо для сохранения равновозможности всех перечисляемых случаев. Так в первых четырех исходах первой таблицы игрок А выигрывает всю игру уже после двух партий. Точно также в первых девяти исходах второй таблицы игрок А выигрывает игру после первой партии. Тем не менее Ферма доводит таблицу до конца и рассматривает все возможные случаи исхода четырех партий. Этим самым Паскаль и Ферма избежали ошибки, которую допустил в следующем столетии Даламбер, когда подсчитывал число равновероятных случаев при бросании двух монет.
При рассмотрении второй таблицы Паскаль допустил неточность в рассуждениях. А именно он считал, что из 27 возможных исходов бесспорно благоприятствуют игроку А лишь 13, а исходы 5, 11, 19 столбцов, также как 9, 15 и 24 благоприятствуют сразу и игроку А и угроку В (как А, так и О , поэтому их следует брать с поло-
винным весом. В результате Паскаль предлагал делить ставку в отношении 16 :5, 5:5, 5. Ошибка Паскаля нам теперь очевидна.
Паскаль одновременно с размышлениями над проблемами, составившими содержание его переписки с Ферма, разрабатывал вопросы комбинаторики. Результатом этого явился ’’Трактат об арифметическом треугольнике", опубликованный в 1665 г. и внесший серьезный вклад в развитие комбинаторики. В этом трактате имеется па: раграф, в котором изложены правила использования комбинаторных результатов в задаче о разделе ставки. Правило, предложенное Паскалем, состоит в следующем: пусть игроку до выигрыша всей игры не хватает т партий, а игроку В - п партий, тогда ставка должна делиться между игроками в таком отношении:
п - 1 т — 1
2 С1 ¦ 2 С1
1 = 0 т + п — 1 ' i = о т + п — 1'
§ 5. Работа X. Гюйгенса
397
§ 5. Работа X. Гюйгенса
Несомненно, что на развитие теории вероятностей значительное влияние оказала работа X. Гюйгенса (1629 - 1695). Интерес Гюйгенса к этим вопросам был вызван его поездкой в Париж в 1655 г., где он познакомился с рядом видных ученых и услышал от них сведения относительно задач о разделе ставки в азартных играх, которые разрабатывались Паскалем и Ферма. Повидимому, ему стали известны и идеи, которыми они руководствовались при решении. Задачи Гюйгенса заинтересовали и он самостоятельно занялся размышлениями над подобными же вопросами. Поскольку, как он позднее писал в трактате ”0 расчетах в азартных играх”, ни Паскаль, ни Ферма не опубликовали разработанных ими методов, ему пришлось самому искать пути решения. Результатом явилась работа Гюйгенса, опубликованная в 1656 г. в виде дополнения к книге его учителя Ф. ван Схоутена ’’Математические этюды”. Схоутен настолько высоко оценил эту работу Гюйгенса, что сам перевел ее на латинский язык.
Работа Гюйгенса состоит из небольшого введения и 14 предложений. Эти предложения весьма различны по своему содержанию. Первые три являются теми принципами, на основе которых Гюйгенс основывал последующие решения. Предложения 4 - 9 посвящены решению задач, связанных с безобидным делением ставки. Предложения 10 - 14 содержат различные задачи, связанные с бросанием костей. В конце мемуара помещены 5 задач без решений, которые Гюйгенс предложил читателям для самостоятельных размышлений. Их решения были им даны лишь в 1665 г.
