Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Наши обозначения несколько неполны, поскольку мы не указываем, из какого состояния Ef начала изменяться система. Исчерпывающим было бы такое обозначение: Pjj(t) — вероятность того, что система окажется в момент t в состоянии ?), если в момент 0 она находилась в состоянии Ej. В задаче о процессе Пуассона мы предположили, что в начальный момент 0 система находилась в состоянии Е0.
302 Гл. 10. Теория стохастических процессов
Уравнения (1) и (2) принимают особенно простой вид для процессов чистой гибели и чистого размножения. Во втором случае, проведя последовательное интегрирование, получим (формулы написаны в предположении, что все Хп различны)
Ро(0 =е~х°г,
Pi(t) =“—- [е~х<>‘ - е~к'г],
Ах — Ао
ХоХ,
МО
------(е~ ’ - е~ г ) +-------(е~ к 11 - е х-{)
Х-1 — Хо L х2 - х0 Лз — Х[
Мы предположили при этом, что при t = 0 система находится в состоянии Ео. Без груда можно выписать и общее решение, убедившись при этом, что функции pk(t) неотрицательны при всех к и t. Однако, если \к растут слишком быстро при возрастании к, может случиться, что 2 р. (?)<1.
к - О
Теорема В.Феллера. Для того чтобы при всех значениях t решения pk(t) уравнений чистого размножения удовлетворяли соотношению
2 Pk(t)= 1, (3)
к - о К
йеобходимо и достаточно расходимости ряда
S V- (4)
к= О
Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ряда (3)
J’nO) = Po(0 + Pi(0 + • • • +Ря(0- (5)
Из уравнений размножения вытекает, что
4(0 = - Кр„(0-
Отсюда находим, что
1 -5„(0 = Х„ fp„(t)dt (6)
(если вместо начального условияр0(0) = 1 взять другое, а именнор.(0) = 1, то равенство (6) имеет место при п > /).
Так как все члены суммы (5) неотрицательны, то при каждом фиксированном значении t сумма s„(0 с возрастанием п не убывает. Следовательно существует предел
lim [1 -s„(0] = Д(0- (7)
§51. Процессы гибели и размножения
303
t
В силу (6) мы заключаем, что Х„ fpn(t)dt > д(0- Отсюда ясно, что
1 /1 1 I \
f sn(z)dz > n(t) — + — + . . . + — I. Так как при любых t и п
о \ Хо Xj Хи /
имеет место неравенство sn(t) < 1, то
Если ряд (4) расходится, то из последнего неравенства вытекает, что при всех Г должно быть ц(г) = 0. Из (7) теперь следует, что расходимость ряда (4) приводит к (3).
f t 1
Из (6) ясно, что Х„ /р (t)dt < 1 и, следовательно, j'sn(z)dz <--------+
о " о Х0
1 1 \
+ — + ... + ----. В пределе при п ->¦ °° получаем J [1 - /л(z)]dz
Xi Хи о
< 2 X;1.
п =0
Если fji(t) = 0 при всех /, то левая часть неравенства равна /, а поскольку t произвольно, ряд, стоящий в правой части, расходится. Теорема доказана.
В предыдущем параграфе мы имели Х„ = X. Следовательно, ряд (4)
расходится и при всех t имеет место равенство 2 р (/) = 1.
/I - о "
На сумму 2 р (г) можно смотреть как на вероятность того, что за
п = о п
время t произойдет лишь конечное число изменений состояний системы.
ое>
Таким образом разность 1 — 2 р (/) следует интерпретировать как
п = о "
вероятность бесконечного числа изменений состояний системы за время л В явлениях радиоактивного распада такая возможность означает лавинный распад.
Пример 1. Резервирование без восстановления. Представим себе техническую систему, состоящую из одного основного элемента и п таких же резервных. Основной прибор за промежуток времени (t, t + h) отказывает с вероятностью Х/г + о{И), а каждый из резервных приборов — с вероятностью \'h + o(h). На смену отказавшему прибору немедленно ставится прибор из резерва, отказавший же прибор дальнейшего участия в работе системы не принимает. Система в целом отказывает в момент, когда все элементы — основной и резервные — окажутся в
304
Гл. 10. Теория стохастических процессов
состоянии отказа. Найти вероятности того, что в момент t в системе имеется к отказавших элементов (событие Е*).
Мы имеем дело со случаем чистого размножения. При этом
Хк = X + (и - к)Х' при 0 <к<п,
Х„ + *=0, к> 1.
Несложные вычисления приводят к равенствам XqXi ... \к_ i
к\Х
