Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Простые преобразования приводят нас к равенствам
Рк = ^ РкW
коо
хрк-1 - & + к”)рк + (к + 1)ирк+1 = 0’ 1 <к<п’
4,-1 -nvpn=0,
п
(И)
Теперь (11) позволяет найти нормирующий множитель р0:
Окончательно:
§51- Процессы гибели и размножения
307
Эти формулы были найдены Эрлангом и носят название формул Эрланга; они находят широкое применение в задачах телефонии. При к = п мы получаем вероятность того, что все линии заняты и, следовательно, вероятность того, что вновь прибывшее требование будет потеряно. Таким образом, вероятность получить отказ равна л рк"
2 — к- а к]
Для иллюстрации быстроты потерь с увеличением р ( загрузка, приходя-
X \ '
щаяся на одну линию равна------) приведем небольшие таблички. При этом
nv )
мы ограничимся случаями л = 2ии = 4и такими значениями р, при которых в соответствующих колонках приходятся одинаковые загрузки на прибор.
Таблица 15
п = 2
0,1
0,3
0,5
1,0
2,0
3,0
4,0
Рп
0,0045 0,0335 0,0769 0,2000 0,4000 0,5294 0,6054
п = 4
р 0,2 0,6 1,0 2,0 4,0 6,0 8,0
рп 0,0001 0,0030 0,0154 0,0952 0,3107 0,4696 0,5746
Из табличек замечаем, что при малых загрузках увеличение числа приборов существенно уменьшает вероятность потерь. Например, при п = 2 и р = 1,0 вероятность потери равна 0,20, а при п = 4 и р = 2 соответствующая вероятность будет только 0,09. По мере же возрастания загрузки на один прибор вероятности потерь постепенно выравниваются и, например, при р = 4 и п = 2 вероятность потери равна 0,6054, а при и = 4 и р = 8 эта вероятность равна уже 0,5746, т.е. различие наступает только во втором знаке.
Вернемся к некоторым общим результатам теории процессов гибели и размножения, но изложим их без доказательств. В случае процесса чистого размножения система уравнений (1)— (2) разрешалась очень просто путем последовательного интегрирования, поскольку дифференциальные
308
Гл. 10. Теория стохастических процессов
уравнения имели вид простых рекуррентных соотношений. Общие уравнения имеют иную структуру и последовательное определение функцийPk(t) уже невозможно. В настоящее время условия существования и единственности решений этой системы хорошо изучены в работах Феллера, Рейтера, Карлина и Мак-Грегора. Оказалось, что равенство
Это условие, в частности, выполнено во всех случаях, когда, начиная с некоторого к0, выполняется неравенство
Хк lvk +1 < а < 1.
Интуитивно это условие ясно: оно означает, что скорость поступления требований в систему не должна превышать скорости их обслуживания.
Дня вычисления пределов (13) действует следующее простое правило: нужно составить и решить систему алгебраических уравнений, получающуюся из системы (1) —(2) путем замены pk(t) на рк и подстановки 0 вместо р'к (t). Эта система, следовательно, имеет следующий вид:
-ХоРо + »iPi =0,
- (Хк + »к)Рк +Xk_iPk_l +vk + iPk + i =0 (к> О-
Обозначения
Zk =-Xkpk+vk + lpk+l, к =0,1,2,...
обращают записанную алгебраическую систему в следующую: zo=0, zk_i-zk= 0 (при?>1).
Из нее вытекает, что при всех к
к= О
2 Pk(t) = 1
— Г\ К
имеет место при всех t, если расходится ряд
(12)
к = 1 i = l X/
Если вдобавок сходится ряд
(13)
к = 1 / = 1 Vj
то при всех t существуют пределы
рк = lim рк (?).
Г -*¦ ОО
(14)
§51. Процессы гибели и размножения
309
Следовательно,
1
Рк =---------?
vk
к- 1
к
= п
( = 1 V,
Х/-1
‘Ро-
Постоянное р0 определяется из условия нормировки 2
к~ О
Ро =
к п /'= 1
(15)
(16)
Очевидно, что в полученных формулах содержатся найденные нами ранее формулы Эрланга.
ПримерЗ. Обслуживание с очередью. На п одинаковых приборов поступает пуассоновский поток требований с параметром (интенсивностью) X. Требование, поступившее на какой-либо прибор, требует для всего обслуживания случайного времени с распределением вероятностей Н(х) = 1 — e~vx. Если в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный прибор, оно начинает обслуживаться немедленно. Если же все приборы заняты, то вновь поступающие требования становятся в очередь. Если имеется очередь, то после окончания обслуживания прибор немедленно переключается на обслуживания очередного требования из очереди. Требуется найти вероятности пребывания в системе того или иного числа требований.
