Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что величины т, п,х и h связаны равенством т — (п — т) = x/h.
Легко убедиться непосредственным подсчетом, что функция f (х, t) удовлетворяет разностному уравнению
п — т
f(x, t +т) = pf(x-h, t) + q(x +h, t)
(1)
10* 1
292
Гл. 10. Теория стохастических процессов
и начальным условиям
/(0,0) = 1, /(х, 0) = 0 при х Ф 0.
Посмотрим, во что превратится написанное разностное уравнение, если заставить стремиться к 0 как h, так и т. Физическая природа заставит, оказывается, наложить на h и г некоторые ограничения. Точно также величины р и q не могут быть взяты произвольно. Несоблюдение условий, о которых пойдет речь, может привести к тому, что за конечный промежуток времени частица с вероятностью единица уйдет в бесконечность. Для того чтобы избежать такую возможность, наложим следующие требования: при h ->оо
h2 р - q с
х = nh, t = пт,-------------> 2D, ----- -»• — , (2)
т h D
где с и D — некоторые постоянные. Величина с носит наименование скорости течения, a D — коэффициента диффузии.
Отнимем от обеих частей равенства (1) величину / (х, f). В результате получаем
f(x,t + T) - f(x,t) = p[f(x-h,t) - f (x, f)] +
+ Q [f(x + h,t) - f(x, t)]. (3)
Предположим, что / (x, f) дифференцируема no t и дважды дифференцируема по х. Тогда
Э / (х, t)
f(x,t + T)-f(x,t) = т —-----------+о(т),
ot
mx,t) 1 ,, Э2/(Х, t)
-------+^h2 ---------
Эх 2 Эх2
-f(x,t)+f(x-h, t) = -h- ft2 ’ + о(h2),
Э/(х, 0 i , Э2/(х, о
/(х+й,/)-/(*, О = h-^—’-+U2-^r^+o(h2).
Эх 2 дх2 После подстановки этих равенств в (3) получаем
Э/(Х0 ь2 32/(х, г)
——— + o(r) = -(p-fl)A—------------------+ ----------—^
dt Эх 2 Эх
Отсюда, в силу соотношений (2), находим, что в пределе
Э/(х, г) Э / (х, t) Э2/(х, о
-= _2с-----------+ D
дt Эх Эt
2
§ 49. Вводные замечания
293
Мы получили уравнение, носящее в теории диффузии наименование уравнения Фоккера - Планка.
Интересно отметить, что при довольно искусственной постановке задачи получен физически осмысленный результат, хорошо отражающий истинную картину процесса диффузии. Позднее мы дадим вывод общих уравнений, которым подчиняются распределения для случайных процессов при весьма общих предположениях об их протекании.
Начало общей теории стохастических процессов было положено фундаментальными работами советских математиков А.Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина в начале тридцатых годов. В статье А.Н. Колмогорова ”06 аналитических методах в теории вероятностей” было дано систематическое и строгое построение основ теории стохастических процессов без последействия или, как часто говорят, процессов марковского типа. В ряде работ А.Я. Хинчина была создана теория так называемых стационарных процессов.
Заметим, что прежде чем подвергнуть математическому изучению те или иные явления природы или технические процессы, нужно их схематизировать. Причина этой необходимости лежит в том, что математический анализ применим к исследованию процесса изменения некоторой системы только в том случае, если предположено, что каждое возможное состояние этой системы вполне определено посредством некоторого определенного математического аппарата. Понятно, что такая математически определимая система не есть сама действительность, но лишь схема, пригодная для ее описания. С такой картиной мы встречаемся, скажем, в механике, когда предполагаем, что реальные движения систем материальных точек полностью могут быть описаны для любого момента времени указанием этого момента времени и ее состояния в любой предыдущий момент времени t0. Иными словами, схема, которая принимается в теоретической механике для описания движения, состоит в следующем: принимается, что для любого момента времени t состояние системы у полностью определяется ее состоянием х в любой предыдущий момент времени t0. При этом под состоянием системы в механике понимается задание положения точек материальной системы и их скоростей.
Вне классической механики, собственно, во всей современной физике, приходится иметь дело с более сложным положением, когда знание состояния системы в какой-либо момент времени t0 уже не определяет однозначно состояния системы в последующие моменты времени, а лишь определяет вероятность того, что система будет находиться в одном из состояний некоторого множества состояний системы. Если через х обозначить состояние системы в момент t0 , а через Е — некоторое множество состояний системы, то для только что описанных процессов определена вероятность
PUo, t, Е}
294
Гл. 10. Теория стохастических процессов
