Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
рк& =---------rTTTfc-----e fc(l~e*'), 0 <k<n,
и
Xo Xt . X„__iX_ ; Kz(] _ yz y«
Pn + lK} w!X о }
В частности, если X' = 0 (резерв называется непогруженным или холодным; элементы в таком резерве не отказывают), то имеют место равенства
X*f* « (\t)k
рк^ = ~ТГе (0 <к<п), р (г) = 1_ 2 е Kt.
К к\ " 1 к - о к\
При X' = X (нагруженный или горячий резерв; в таком резерве все элементы находятся в том же состоянии, что и основной)
Рк(0 = С*+1е-(" + 1-к»\\ - e~xt)k.
Обозначим через %к длительность жизни А:-го элемента в период работы. Для ненагруженного резервирования длительность жизни системы равна ?о + ? 1 + ... + ?„ ¦ Так как средний срок службы одного прибора равен
fe~Xtdt = 1/Х, то средний срок службы системы при холодном резерви-
о
ровании равен (л + 1) /X, т.е. пропорционален общему числу элементов системы.
Среднюю продолжительность безотказной работы резервированной системы при нагруженном резервировании вычислим следующим способом: отметим моменты последовательных отказов элементов — t\, t2, ... ..., tn+l и введем обозначения тх' = tx, т2 = t2 — t\, г3 = t3 - t2,... , r„+1 = = tn + l — tn. Поскольку в первом отрезке времени работают все приборы, вероятность того, что за время t не откажет ни один из них, равна е-(п + i) \t. верОЯТНОСТЬ того, что во втором интервале не откажет ни один
из работоспособных элементов, равна e~Knt. Наконец, вероятность того, что за время t не будет отказов в последнем интервале, равна е~Кг. Теперь легко подсчитать, что время работы резервированной системы до отказа
§51. Процессы гибели и размножения
305
равно
к = 1
п + 1
X
1
(
1
1 + — 2
Если п велико,то
1
1
1 + — + ...+-----In я + с,
2 п
где с — постоянная Эйлера, с = 0,577215 ...
Пример 2. Система обслуживания с потерями. Мы рассмотрим теперь одну из задач новой прикладной математической дисциплины, получившей название теории массового обслуживания. Первые ее задачи были рассмотрены датским ученым Эрлангом — долголетним сотрудником лаборатории Копенгагенской телефонной компании.
Предположим, что на телефонную станцию поступают вызовы от абонентов. Если в момент поступления вызова аппарат вызываемого абонента свободен, то происходит мгновенное соединение и начинается разговор, который продолжается столько, сколько необходимо для его завершения. Если же вызываемый абонент занят, то вызывающий абонент получает отказ.
Нам важно подчеркнуть две особенности, с которыми необходимо считаться при рассмотрении возникающих здесь вопросов. Во-первых, вызовы на станцию поступают в случайные моменты времени, и предсказать заранее, когда поступит очередной вызов, нет возможности. Во-вторых, длительность разговора не постоянна, а меняется в зависимости от случая.
Мы предположим, что имеется п равноправных линий связи у каждого из абонентов и если хотя бы одна из них свободна, то соединение наступает мгновенно. Каждая линия доступна для любого требования, каждое требование обслуживается лишь одной из линий. Вероятность того, что вызов от какого-то абонента поступит в промежуток времени от t до t + h равна \h + o(h). Если в момент t заняты к линий, то вероятность того, что к моменту t + h освободится одна из них, равна kvh + о (И).
Мы находимся в условиях теории процессов гибели и размножения. В нашем случае X* = X, vk = kv при 1 <л и vk = 0 при к>п. Система обслуживания может находиться лишь в состояниях Е0, Е\, Е2,. .., Еп.
Уравнения (1) и (2) для нашей задачи записываются в следующем виде:
Po(f) = -\po(i) + vpi(t), при 1 < п
(8)
Рк (0 = - (х + ки)рк (t) + \рк _ J 00 + (к + 1 )vpk + i(0
(9)
306
Гл. 10. Теория стохастических процессов
И при к — п
P'„(t) = ^Pn_1(t)-nvpn(t).
(10)
К этим уравнениям мы должны добавить еще одно
П
2 Р*(0 = 1, к =0
смысл которого прост: в любой момент времени возможны только события E0,Ei,...,E„.
Обычно интересуются изучением установившегося процесса, т.е. рассматривают решение при t ->о°. Как мы увидим позднее, в условиях нашей задачи существуют пределы
и эти предельные вероятности удовлетворяют следующей системе алгебраических уравнений, получающихся из (8) — (10) путем замены функций pk(t) на постоянныерк, а производныхp'k(t) на нули:
- \р0 + vpi = 0,
Обозначением zk = Хрк ( — кррк мы приводим систему наших алгебраических уравнений к следующей:
z i=0, zk-zk_ i=0 при 1<&<и, zn = 0
откуда находим, что
kvPk-1 =ХРк-1 к = \,2, .. . ,п.