Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, из предположений стационарности и отсутствия последействия мы вывели, что при любом / > 0
(1)
Из (1) вытекает, что при малых t P0(t) = 1 — X t + o(t).
Следовательно, в силу условия ординарности, Pt(t) = Xr + o(t).
(2)
§ 50. Процесс Пуассона 297
Теперь мы можем перейти к выводу формул для вероятностей Pk(t) при к > 1. С этой целью определим вероятность того, что за время t + At событие наступит ровно к раз. Это может осуществиться к + 1 различными способами, а именно:
1) за промежуток времени длительности t произойдут все к событий, а за время Д t — ни одного;
2) за время t произойдут к — 1 событие, а за время At — одно; ...
к + 1) за время t событие не наступит ни раза, а за время At произойдет к раз.
По формуле полной вероятности к
Pk(t + At) = 2 /»/(?)/»*_/(ДО
/ = о
(при этом принято во внимание как условие стационарности, так и условие отсутствия последействия). Положим
к - 2
Rk = 2 P,(t)Pk_j{At).
/ = о
Очевидно, что
к - 2 к Rk < 2 Pk„,(At) = 2 Ps(At) <
j= О 5 = 2
ОО
< 2 Ps(At) = P>l(^t) = o(At),
s = 2
согласно условию ординарности.
Таким образом,
Pk(t + At)=Pk(t) P0(At)+ Pk_i(t)Pl(At) + o(At).
Далее, согласно (2)
P0(At) = e~KAt = 1 - \At + о (At), Pl(At) = \At + o(At), поэтому
Pk(t + At) = ( 1 -XAt)Pk(t) + \AtPk_1(t) + o(At).
Отсюда
P0(t + At)-Pk(t)
At
XPk(t) + XPk_l(t).
298 Гл. 10. Теория стохастических процессов
Поскольку при At ^ 0 предел правой части равенства существует, существует и предел левой части. В результате получаем уравнение
dPk(t)
-XfHO + XJWO (3)
dt
для определения Рк (?). Начальные условия мы выберем такие:
Р0(0) = 1, Рк(0) = 0 при к > 1. (4)
Решение системы уравнений (3) проще всего осуществить посредством
замены
Pk(t) = e~xtvk(t) (5)
где vk(t) — новая искомая функция. Заметим, что, в силу (1), и0 (?) = 1.
Соотношения (4) приводят нас к таким начальным условиям:
и0(0) =1 и и*;(0) = 0 при к > 1. (6)
Подстановка (5) в (3) приводит нас к уравнению
dvk(t)
—^=Х^_!(0. (7)
at
В частности,
duiOO
dt
(7')
Последовательное решение уравнений (7 ’) и (7) приводит нас при учете начальных условий к равенствам:
(ХО2 (ХО3
и, (О = Xt, и2(0 = —— , и3(0 =
3 !
и вообще
(ХО*
•
Таким образом, окончательно
о
к!
при любом к > 0. Задача, стоявшая перед нами, решена.
§ 50. Процесс Пуассона
299
Высказанные нами в начале параграфа условия с большой точностью выполняются в многочисленных естественнонаучных явлениях и технических процессах. Для примера укажем на число спонтанно распавшихся атомов радиоактивного вещества за тот или иной промежуток времени (когда этого вещества не слишком мало и не слишком много); на число космических частиц, попавших на определенную площадку за промежуток времени t. Если мы имеем дело с какой-нибудь сложной радиотехнической системой, состоящей из большого числа элементов, каждый из которых лишь с малой вероятностью может отказать в работе за единицу времени независимо от состояния других элементов, то число элементов, отказавших за промежуток времени (0,?), представляет собой случайный процесс. Этот процесс во многих случаях будет хорошо описываться только что рассмотренным процессом Пуассона. Число подобных примеров можно увеличивать без всяких затруднений.
Промежуток времени, протекший между появлениями двух последовательных появлений интересующих нас событий, представляет собой случайную величину, которую мы обозначим через т. Найдем распределение вероятностей т.Так как очевидно, что событие т > t эквивалентно тому, что за промежуток времени t событие не появится ни разу, то
Р{т > t} = e~Xf.
Искомая функция распределения, таким образом, задается формулой
Р{т < t} = 1 - e~Kt. (9)
Полученный результат мы можем физически трактовать многими способами. Например, мы можем смотреть на него как на распределение времени свободного пробега молекулы или как на распределение времени, протекшее между двумя отказами элементов в сложной радиотехнической схеме.