Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Примечание. Отсюда, в частности, следует, что безгранично делимы распределения Максвелла и распределение х5 (при любом значении п).
3. Доказать, что каковы бы ни были постоянные а > 0 и (3 > О,
sр(П = 1 +
является безгранично делимой характеристической функцией.
Упражнения
289
Примечание. Отсюда, в частности, следует, что распределение Лапласа (упр. 6 к гл. 5) безгранично делимо.
4. Найти функцию G (х) и параметр у в формуле Колмогорова для логарифма безгранично делимой характеристической функции для распределений:
а) примера 2,
б) Лапласа.
5. Доказать, что если сумма двух независимых безгранично делимых случайных величин распределена:
а) по закону Пуассона,
б) по нормальному закону,
то каждое слагаемое распределено в случае:
а) по закону Пуассона,
б) по нормальному закону.
6. Найти условия сходимости функций распределения сумм случайных величин, составляющих элементарную систему, к распределению:
а) примера 2,
б) Лапласа.
ГЛАВА 10
ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
§ 49. Вводные замечания
Совершенствование физической статистики, а также ряда отраслей техники, поставило перед теорией вероятностей большое число новых, не укладывающихся в рамки классической теории, задач. В то время как физика и техника интересовало изучение процесса, т.е. явления, протекающего во времени, теория вероятностей не имела ни общих приемов, ни разработанных частных схем для решения задач, возникающих при изучении таких явлений. Появилась настоятельная необходимость в разработке общей теории случайных процессов, т. е. теории, которая изучала бы случайные величины, зависящие от одного или нескольких непрерывно изменяющихся параметров.
Перечислим несколько задач, иллюстрирующих необходимость построения теории случайных процессов.
Представим себе, что мы задались целью проследить за движением какой-либо молекулы газа или жидкости. Эта молекула в случайные моменты времени сталкивается с другими молекулами и меняет при зтом свои скорость и положение. Состояние молекулы, таким образом, подвержено случайным изменениям в каждый момент времени. Многие физические явления требуют для своего изучения умения вычислять вероятности того, что определенное число молекул успеет за тот или иной промежуток времени переместиться на то или иное расстояние. Так, например, если приведены в соприкосновение два газа или две жидкости, то начинается взаимное проникновение молекул одной жидкости в другую: происходит диффузия. Как быстро протекает процесс диффузии, по каким законам, когда образующаяся смесь становится практически однородной? На все эти и многие другие вопросы дает ответ статистическая теория диффузии, в основе которой лежит теория случайных процессов, или, как принято теперь говорить, теория стохастических процессов. Очевидно, что подобная же задача возникает в химии, когда изучают процесс химической реакции. Какая часть молекул уже вступила в реакцию, как реакция протекает во времени, когда практически реакция уже закончилась?
Весьма важный круг явлений протекает по принципу радиоактивного распада. Это явление состоит в том, что атомы радиоактивного вещества
§ 49. Вводные замечания
291
распадаются, превращаясь в атомы другого элемента. Распад каждого атома происходит мгновенно, подобно взрыву, с выделением некоторого количества энергии. Многочисленные наблюдения показывают, что распад различных атомов для наблюдателя происходит в случайно взятые моменты времени. При этом расположение этих моментов времени независимо друг от друга в смысле теории вероятностей. Для изучения процесса радиоактивного распада существенно определить, какова вероятность того, что за определенный промежуток времени распадется то или иное количество атомов? Формально, если задаваться только выяснением математической картины явлений, точно так же протекают и другие явления: число вызовов, поступающих на телефонную станцию за определенный промежуток времени (загрузка телефонной станции), обрывность нитей на ватере (ватер — прядильная машина) или изменение числа частиц, находящихся в броуновском движении, оказавшихся в какой-либо момент времени в заданной области пространства. Мы дадим в этой главе простое решение тех математических задач, к которым приводят указанные явления.
К тому, с чем мы только что познакомились, добавим следующее: первые задачи физического характера, являющиеся одновременно задачами теории случайных процессов, были рассмотрены выдающимися физиками начала нашего века. Изложим сейчас вкратце, как, исходя из рассмотрения весьма схематической проблемы блуждания по прямой, Максом Планком и Фоккером было получено дифференциальное уравнение теории диффузии. Пусть частица, находящаяся в момент времени t = 0 в точке х = 0, в моменты кт (к = 1,2, ...) испытывает случайные толчки, в результате которых она каждый раз перемещается с вероятностью р на величину h вправо и с вероятностью q = 1 — р также на величину h влево. Обозначим через f(x, t) вероятность того, что частица в результате п толчков окажется в момент t (t = пт) в положении х (ясно, что при четном числе толчков величина х может равняться только четному числу шагов h, а при п нечетном — только нечетному числу шагов h). Если через m обозначить число шагов, сделанных частицей вправо (соответственно п-m есть число шагов, которые частица совершила влево), то согласно формуле Бернулли
