Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
At-+0 At I у — x I > 6
Наша ближайшая задача состоит в выводе дифференциальных уравнений, которым при выполнении некоторых условий удовлетворяет функция F(t, х; т, у), управляющая непрерывным случайным процессом без последействия. Эти уравнения впервые строго были доказаны А.Н. Колмогоровым (хотя второе из них и встречалось до этого в работах физиков) и носят название уравнений Колмогорова.
Мы предположим, что
1) частные производные
bF(t, х;т, у) b2F(t,.x-, т, _у)
------------- и -------------------
дх дх
существуют и непрерывны при любых значениях t, х и т > t;
2) каково бы ни было 5 > 0, существуют предел *)
1
lim ---- / (у ~ x)dyF(t-At, х\ t, у) = a(t, х) (2)
At ->• 0 At ]у-л-|<6
*) При некоторых достаточно общих предположениях А.Н. Колмогоров доказал сущестование пределов a{t, х) и b(t, х).
Наглядный смысл функций си b мы выясним в конце параграфа.
318
Гл. 10. Теория стохастических процессов
и предел
lim —/ (у - x)2dyF(t - At, x\t, у) = bit, х), (3)
AT -*¦ О At I у - х \ < 6
и эта сходимость равномерна относительно jc.
Левые части равенств (2) и (3) зависят от 5. Эта зависимость, однако, в силу определения непрерывности процесса (т.е. в силу (1)) является лишь кажущейся.
Первое уравнение Колмогорова. Если только что сформулированные условия 1) и 2) выполнены, то функция F{t,x\ т, у) удовлетворяет уравнению.
Доказательство. Согласно обобщенному уравнению Маркова F(t - At, х; т,у) = fF(t, z;r,y)dzF(t - At, x;t, z).
Кроме того, в силу свойств функции распределения,
F{t, х; т,у)~ f F(t, х; г, у) dz F(t - At, х; t, z).
Из этих равенств заключаем, что F(t - At, х; т, у) - F(t, х; т, у)
По формуле Тейлора при сделанных нами предположениях имеет место равенстао
b{t,x) Ъ2F(t, х; т, у~)
2
At
1
At
f [Fit, z; т, y) -Fit, x; т,у)] dzFit -At, x; t, z).
Fit, z; т,у) = Fit, x; т,у) + (z - x)
bFit, x; т, у)
+
1 , b2Fit,x; т,у) .
+ — (*-*)2 ------------------- +o((z-x)2).
2 Эд:
j 54. Непрерывный случайный процесс 319
Последующие аналитические преобразования не требуют пояснений:
F(t - Д t, х; т, у) - F(t, х; т, у)
A t
1
/ [F(t, z; т, у) - F(t, х; т, у)] dzF{t - At, х; t, z) +
At \z — ДГ I > 6
1
/ [F(t, z; t, y) - F(t, x; т,у)] dzF(t - A t, x; t, z) =
/ [F(r, z; t, y) — F(t, z; t, y) ] dz F(t - At, x; t, z) +
At \ z — x\ > b
bF(t, x; т,у) 1
/ (z - x) dz F(t — At, x; t, z) +
дх Д f l z — * I < 6
¦ - . 4 / Rz-^to(2-rfi x
2 dx A t lz - x l< s
X dz F(t - A t, x; t, z). (5)
Перейдем теперь к пределу, положив Д t -+ 0. Первое слагаемое правой части в силу (1) имеет своим пределом 0. Второе слагаемое, соглас-
dF
но (2), в пределе равно a (t, х) ------- . Наконец, третье слагаемое
dx
1 d2F
может отличаться от — b(t, х) ^ 2 только на слагаемое, стремящееся
к нулю при б->0. Но так как левая часть последнего равенства от 5 не зависит и только что указанные предельные значения от 5 не зависят, то предел правой части существует и равен
dF(t,x;T,y) 1 d2F(t,x;r,y)
a(t,x) ----------- + —— b(t, x)-----------—-----.
dx 2 dx
Отсюда мы заключаем о существовании предела:
F(t - At, х; т, у) - F(t, х; т, у) d F(t, х; т, у)
lim
д?^о At dt
Равенство (5) приводит нас к уравнению (4) .
320 Гл. 10. Теория стохастических процессов
Если предположить, что существует плотность распределения
Э
f(t, х; т, у) = ——F(t, х; т, у) ,
Э у
то простое дифференцирование (4) показывает, что плотность /(г,х\т,у) удовлетворяет уравнению
Э/(г,х;т ,у) df{t,x;T,y)
------------ + a(t,x) ----------- +
Э t дх
1 д 2f(t, х; т, у)
+ —b(t,x)--------^-------=0. (4')
2 ах
Мы перейдем теперь к выводу второго уравнения Колмогорова. При этом мы не станем стремиться к наибольшей возможной общности и сделаем допущения, не вызываемые существом дела. Помимо уже сделанных предположений, мы наложим на функцию F(t, х; т, у) еще такие ограничения
