Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы находимся в условиях теории процессов гибели и размножения. Для нашей задачи X* = X при всех к, vk - kv при к и vk=nv при к > п.
Согласно формулам (15) и (16), стационарные решения для нашей задачи имеют такой вид: при к < п
Рк
_Р к!
Ро
и при к> п
к п\пк-п
Ро,
где р = X/v. Постоянное р0 определяется равенством
Ро
¦ к =
Если р < п, то
2 — + —- 2 (-) = 0 к\ п\ к - п + 1 \ п I
Ро =
, " Ph Pn+i
1+2---------+------------
к = 1 к! п\{п - р)\ .
310
Гл. 10. Теория стохастических процессов
Если же р > п, то ряд, стоящий в скобке, расходится и р0 = 0. Из только что написанных формул мы заключаем, что рк = 0 при всех к. Этот результат очень важен; словами его можно сформулировать так: если р > п, то очередь на обслуживание неограниченно растет со временем.
Пример 4. Обслуживание станков бригадой рабочих. Бригада из г рабочих обслуживает п однотипных станков. Каждый из этих станков в случайные моменты времени может потребовать к себе внимания рабочего. Станки выходят из рабочего состояния независимо друг от друга; вероятность выхода из рабочего состояния за промежуток времени (t, t + ti) равна \h + o(h). Вероятность того, что за время (f, t + И) будет завершено восстановление рабочего состояния станка равна vh + o(h). Каждый рабочий одновременно может восстанавливать только один станок; каждый станок восстанавливается только одним рабочим. Найти вероятность того, что в установившемся процессе обслуживания в данный момент будет простаивать заданное число станков.
Обозначим через Ек событие, состоящее в том, что в данный момент неисправны к станков. Очевидно, что наша система может находиться только в состояниях Eq,E\, . . . ,Еп. Легко понять, что мы имеем дело с процессом гибели и размножения, для которого X* = (п — к)\ при 0 < п,
Xfc = 0 при к > п; vk = ki> при 1 </с и vk = rv при к> г. Формулы (15) и (16) приводят к равенствам: при 1 </с < г (р = X/v)
Проиллюстрируем полученные формулы простым числовым расчетом. Пусть обслуживание 8 станков поручено двум рабочим. Как рациональнее организовать работу: поручить ли все станки бригаде из двух рабочих или
п\
РкРо
к гп~кг\{п-к)\
и
И п\
-1
В частности, при r= 1
п
п п\
-1
Ро ” 2
к
§ 51. Процессы гибели и размножения 311
же каждому из рабочих поручить по четыре определенных станка? Вычисления проведены в предположении р = 0,2. Результаты собраны в таблице.
Таблица 16
п = 8, г = 2
Число неработающих Число станков, Число свободных
станков ожидающих рабочих
обслуживания
0 0 2 0.2048
1 0 1 0,3277
2 0 0 0,2294
3 1 0 0.1417
4 2 0 0,0687
5 3 0 0.0255
6 4 0 0,0083
7 5 0 0,0017
8 6 0 0.0002
Среднее число станков, простаивающих по той причине, что рабочие заняты восстановлением других станков, равно
1 (к - 2)р = 0,3045.
к =2 К
Среднее время простоя станков (восстановление и ожидание начала обслуживания) равно
8
2 кр = 1,6875.
* = 2 К
Средняя длительность свободного времени рабочих равна
2.0.2048 + 1.0,3277 = 07373.
Иными словами каждый рабочий свободен от работы в течение 0,3686 доли рабочего дня.
Среднее время непроизводительных простоев станков (ожидание начала восстановления)
1.0.1914 + 2.0,0760 + 3.0,0153 = 0,3893.
Вся группа из восьми станков потеряет при этой второй системе организации работы 0,7886 рабочих дня, т.е. потеря времени на ожидание ремонта возрастут более чем вдвое (в первой системе она равна 0,3045 рабочих дня). Общая потеря времени 4 станками на ожидание и ремонт равна
1.0.3189 + 2.0,1914 + 3.0,0760 + 4.0,0153 = 0,9909.
312 Гл. 10. Теория стохастических процессов
Таблица 17
/7 = 4, г = 1
Число неработающих Число станков, Число свободных
станков ожидающих рабочих
обслуживания
0 0 1 0,3984
1 0 0 0,3189
2 1 0 0,1914