Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 - П (1 - / $.(x)dx).
i — 1 z — ос
Безусловная вероятность хотя бы одного попадания в цель (по формуле (1)), таким образом, равна
P=Sf{z)[l- П (1 - / у (x)dx)]dz.
i ~ 1 z — ct
*) Мы полагаем при этом, что определение положения цели и техническое рассеивание независимы.
§ 5 2. Условные распределения, формула Байеса 315
Если условия стрельбы не изменяются от выстрела к выстрелу, то ,(х) = = $(рс) (г = 1, 2,. .. , п) и, следовательно,
P=ff(z) [1 -{1 - I *(x)dx)n]dz.
z - а
Пусть попрежнему А,- обозначает событие х,- <? < х/+,. Согласно классической теореме Байеса
, ?{Ai}?{B\Ai)
РМ'|г,--йй---------------¦
Если F(x) = Р{? < х} и Р{? < х | В) имеют непрерывные производные по х, то, пользуясь теоремой Лагранжа, получаем:
F'(x'i)?{B | А{)
P{At\B} = (х/1 В) (xi+1 - х,) =------------- (x( + j - Xj),
где Xi < Xj < Xj +1, xi < x[ < x, + i. В пределе, когда x; ->х, xi+1 ->х, получаем
р(х)Р{В | х)
^х1В}= '?{„) ¦ или
р{х) ?{В | х}
рЛх\В)= У ,-----------------. (2)
* / Р{В | x}p{x)dx
Это равенство естественно назвать формулой Байеса.
Пусть теперь событие В состоит в том, что некоторая случайная величина г] принимает значение между у - а и у + (3 и условная функция распределения Ф (у | х) величины т? имеет при каждом х непрерывную плотность
1
Рп(У I *) • Тогда, как это следует из равенства (2), если -- Р{В | х } при
4 (3 + а
а й ft стремящихся к нулю, равномерно относительно х стремится к Р^(У I х) > то имеет место равенство
, , ч р(х)р О I х)
Pf (х \у) - ----- ----------•
% $PT](y\x)p{x)dx
Эта формула будет нами широко использована в следующей главе.
316
Гл. 10. Теория стохастических процессов
§ 53. Обобщенное уравнение Маркова
Мы перейдем теперь к изучению случайных процессов без последействия, ограничиваясь при этом лишь простейшими задачами. В частности мы будем предполагать, что множество возможных состояний системы есть множество действительных чисел. Таким образом, для нас случайным процессом будет совокупность случайных величин ?(?), зависящих от одного действительного параметра t. Мы будем называть параметр t временем и говорить о состоянии системы в тот или иной момент времени.
Полную вероятностную характеристику процесса без последействия мы получим, задав функцию F(t, х; т,у), равную вероятности того, что в момент т случайная величина |(т) примет значение, меньшее у, если известно, что в момент t(t<r) имело место равенство |(7) ~х¦ Дополнительное знание состояний системы в более ранние чем t моменты времени для процессов без последействия не изменяет функцию F(t, х; т, у).
Отметим теперь некоторые условия, которым должна удовлетворять функция F(t, х; т, у). Прежде всего для нее, как для функции распределения, должны быть при любых х, t иг выполнены равенства:
2) функция F(t, х; т, у) непрерывна слева относительно аргумента у.
Предположим теперь, что функция F(t, х\т, >>) непрерывна по /, т и по х.
Рассмотрим моменты времени t, s, т (t <s<t). Так как из состояния х в момент t система переходит в момент s в одно из состояний интервала (г, г + dz) с вероятностью dzF(t,x;s, г), а из состояния г в момент s переходит в состояние, меньшее у, в момент т с вероятностью F(s, z; т, у), то согласно формуле (1) предыдущего параграфа находим, что
Полученное равенство естественно назвать обобщенным уравнением Маркова, так как оно представляет собой распространение равенства (1), § 17 теории цепей Маркова на теорию случайных процессов и в этой теории играет столь же важную роль, как упомянутое тождество в теории цепей Маркова.
Вероятность F(t,x\ т, у) определена пока только для т > /. Дополним это определение, приняв
1) lim F(t,x;r,y) = 0, lim F(t,x;r,y)= 1;
F(t, x; т,у) = / F(s, z; r, y) dz F(t, x\ s, z).
Если существует плотность
Э
§ 54. Непрерывный случайный процесс 317
то для нее выполняются следующие очевидные равенства:
/ fit, x\T,z)dz = F(t,x\T, у),
— оо
//(?, x-,T,z)dz = 1.
Для этого случая обобщенное уравнение Маркова должно быть записано в таком виде:
/О, х; г, >0 = //(?', z; т, y)f(t, х-1z)dz.
§ 54. Непрерывный случайный процесс.
Уравнения Колмогорова
Мы скажем, что случайный процесс ?(?) непрерывен, если за малые промежутки времени лишь с малой вероятностью ?(?) может получить заметные по величине приращения. Более точно, случайный процесс ?(/) непрерывен, если, каково бы ни было постоянное 5 (5 >0), имеет место соотношение
1
lim — / dF(t - At, х; t, у) = 0. (1)