Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
3 2 0 0,0760
4 3 0 0,0153
Все восемь станков теряют, таким образом, 1,981$ рабочих дня (против 1,6875 при первой системе организации работы). Несмотря на то, что станки простаивают при второй системе организации труда больше, рабочий в среднем свободен от работы больше, а именно 0,3984 доли рабочего дня (было 0,3686 доли рабочего дня).
Приведенные примеры показывают, что развитая теория позволяет проводить полезные предварительные расчеты и выбирать более разумные приемы работы.
§ 52. Условные функции распределения и формула Байеса
Для дальнейших выводов нам необходимо обобщить понятие условной вероятности, введенное в первой главе, на случай бесконечного множества возможных условий. В частности, нам нужно ввести понятие условной функции распределения относительно случайной величины.
Рассмотрим некоторое событие В и случайную величину | с функцией распределения F(х). Обозначим через Аар событие, состоящее в том, что
jc-a<?<jc+j3.
В силу определений первой главы
Р{ВАаР} = Р{АаР} • Р{В \Аа1з } = [F(x + 0) - F(x - о)] Р[В \ АаР}, откуда
?{ВАав)
Р{В | Аав) =------------ -------•
Р F(x + /3) - F(x - a)
Предел
Um Р {ВА«0]
ос, 0 - о F(x + (?) - F(x - a)
§ 52. Условные распределения, формула Байеса
313
если он существует *), называется условной вероятностью события В при условии, что % - х, и обозначается символом Р{В | х}. Очевидно, что при х фиксированном Р{5 | х} будет конечно-аддитивной функцией события В, определенной на некотором поле событий.
При некоторых условиях, которые практически всегда оказываются выполненными, ?{В | jc} будет обладать всеми свойствами обычной вероятности, удовлетворяющей аксиомам 1 — 3 § 8.
Если ту - случайная величина и В означает событие ту < у, то функция ФО ! jc) = P{tj < у | jc}, которая, как легко видеть, будет функцией распределения, называется условной функцией распределения величины tj при условии, что %=х.
Очевидно, что если F(jc, у) есть функция распределения пары случайных величин % и г\, то
F(x + 0,y)-F(x - а,у)
Ф(у I jc) = lim---------------------------- ,
а, р ->¦ о F(x + /3, °°) - F(x - а, °°)
если только этот предел существует.
Если функция Р{В | jc} интегрируема относительно F(x), то имеет место формула полной вероятности
?{В) = $?{B\x}dF{x\
Для доказательства этой формулы мы разделим промежуток изменения величины ? точками jc,- (/ = 0, ± 1, ± 2, .. . ) на интервалы xt- < ? < Xj+i. Обозначим через At событие jc,- <? < x, + i- В силу расширенной аксиомы сложения имеем:
Р{Я}= ? Р{Л4,} = ? Р{Д M,}[F(jc/+1)-F(jc,)].
/г_ -ОО f — -со
Станем теперь подразделять интервалы (jc;, jc,-+1) на более мелкие таким образом, чтобы максимальная длина получившихся интервалов стремилась к нулю. В силу определения условной вероятности и интеграла Стилтьеса отсюда получаем:
РШ = /P{5|jc}dF(.t).
В частности,
ФОО = Р {'?<>’) =/«KH*)dF(*). (1)
Если существует плотность распределения вероятностей величины г?, то #(}') = JVO I x)dF(x), (1')
где *р(у | jc) —условная плотность распределения величины г?.
*) Этот предел существует для иочги всех значений х в смысле меры, определяемой функцией F(x).
314 Гл. 10. Теория стохастических процессов
Пример. В качестве примера использования формулы (1) рассмотрим следующую задачу теории стрельбы. При стрельбе по некоторой цели возможны ошибки двоякого рода: 1)в определении положения цели и
2) ошибки выстрела, происходящие от большого числа различных причин (колебания в величине заряда в снаряде, неправильности обточки стакана снаряда, ошибки в наводке, незначительные колебания атмосферных условий и т.д.). Ошибки второго рода носят название технического рассеивания.
Производится п независимых выстрелов по одному определению положения цели. Требуется определить вероятность хотя бы одного попадания в цель.
Ради простоты мы ограничимся рассмотрением одномерной цели размера 2а, а снаряд будем считать точкой. Обозначим через f(x) плотность вероятностей положения цели и через ч?,(х) плотность вероятностей для точек попадания г-го снаряда.
Если центр цели находится в точке z, то вероятность попадания в цель при /-м выстреле равна вероятности попадания в интервал (z — a, z + а), т.е. равна *)
z + а
/ <Pi(x)dx.
z — а
Условная вероятность промаха при /-м выстреле при условии, что центр цели находится в точке z, равна
z + а
1 - / ^Xx)dx.
z — а
Условная вероятность промаха при всех п выстрелах (при том же условии) равна
п z + а
П (1 - / <p.(x)dx).
i- 1 z — ос
Отсюда заключаем, что вероятность хотя бы одного попадания, при условии, что центр цели находится в точке z, равна
