Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
-{ ? ЧшС%, h)q,j. (20.6.1)
1<П
Нкулон = S Znbnd 'Z Цкан.л, (20.6.2)
n= 0 (|,еЛ
A = l, 2.. n
где для удобства будем считать, что i'gA обозначает i е Zd(8, А) П ПЛ. В
случае размерности d - 3 имеем C(i, j) ~ (4я|i - /])-1 при |i - j| ->-
оо, что соответствует обычному кулонову потенциалу. Предположим, что на
границе (ЗА заданы четные граничные уело--вия (например, условия
Дирихле).
890 Гл. 20. Дальнейшие направления
Задача состоит в том, чтобы выяснить поведение корреляции между двумя
пробными зарядами, расположенными в узлах i и /, при |г - /|->оо. Эта
корреляция определяется как
(q#,) = lim S'1 X 6ndqiq2niiK (20.6.3а)
A\zd п. ik, qk
В силу симметрии qk-^>-----qk, среднее (qC) равно 0. Казалось бы,
корреляция (qiqj) асимптотически убывает как потенциал C(i,j) =
- О (11 - j\~d+ ). В случае jz|<C 1, |3е2 <С 1 (т. е. для
"высокотемпературной разреженной плазмы") известно, что эта корреляция
ведет себя по-другому. А именно,
К<7/<7/>|< 0(exp(- |i - /|Д))( \i - /|->"х>, (20.6.3b)
где ? конечно. Нижняя грань всех допустимых значений g в экспоненциальной
оценке (20.6.3Ь) называется дебаевской длиной.
Механизм дебаевского экранирования состоит в том, что пробный заряд в
равновесном распределении окружен облаком зарядов с противоположным
знаком. Это приводит к нейтрализации заряда qt и препятствует его
взаимодействию с другим пробным зарядом qj. Эффект экранирования сводится
к тому, что дальио-действующий кулонов потенциал C(i,j) как бы заменяется
экспоненциально убывающим (т. е. короткодействующим) потенциалом вида
ехр(-|г - /|До)- Первоначальное объяснение этой картины было связано с
приближением среднего поля, формально примененным к корреляции <qi, qj).
Недавно Бриджес и Федербуш, используя аппарат конструктивной квантовой
теории поля, в частности кластерные разложения гл. 18, а также
низкотемпературные разложения, доказали корректность соответствующих
рассуждений для среднего (20.6.3). Их исследования основаны на
преобразовании sin-Gordon, к которому мы сейчас перейдем.
Рассмотрим каноническую статистическую сумму евклидовой теории поля со
взаимодействием V(<р) == у cos аф. Классическое уравнение движения (в
модели с непрерывным вещественным временем) имеет вид
-Пф = ay sin аф (20.6.4)
и называется поэтому уравнением sin-Gordon. Пусть dtp- гауссова мера на
решетке Zd(б, А) с нулевым средним и ковариацией С - -А-1. При подходящем
выборе постоянных а, у каноническая статистическая сумма модели sin-
Gordon определена формулой
Zsm-Gordon = ^ ехр [22 ? bd :cos р1/2еф/:1 ^ф. (20.6.5)
L /ел -1
Это статистическая сумма решеточной теории поля.
20.6 Дебаевское экранирование и преобразование sin-Gordon 391
Предложение 20.6.1 [Стратонович, 1957], [Edwards, 1959], [Edwards,
Lenard, 1962]. Статистические суммы S и Z, определенные соответственно
формулами (20.6.1) и (20.6.5), равны:
^Кулон == Zsln-Gordon- (20.6.6)
Доказательство. Обозначим q*, /'*, А = 1, ..., л, заряды и координаты п
частиц. Пусть
ф (/) = 2 ч>Л> f\n) = Р1/2 Е ik-
i ft=l я
По определению гауссовой меры
J в'Ф {fin)) rf<p = e*pj-i- ? 62^>С (/, /) /<">J =
= ехр [- 4 n§e262dC (0, 0)] Цкан, " (20.6.7)
^см. (9.1.16)). Далее воспользуемся тождеством
? ? 6" V* ^ = [V 2 2 cos (Р'^Ф/УГ. (20.6.8)
<Гь"±" l(.eA L /еЛ J
1....п А-1, ..., п
В силу соотношений (20.6.7-8), получаем, что /fee
^ ^кан. п " еХр(4 ^e262d) |V J 2 C0S (P'/2etP/)J =
qk = ±e k~\, 2......n
¦[6d ? 2 cos^ey,)J:.
(20.6.9)
При выходе последнего равенства мы воспользовались тождеством для виковой
экспоненты
-(1/2) а2пС (0, 0) ±/аф^
из которого следует, что
[cos (aq>jj]n = е_<1/2) "!flC (0- 0) :[cos (аф/)]"1:
Подставляя равенство (20.6.9) в определение (20.6.2), получаем наше
утверждение. |
Теперь мы пришли к трудной задаче изучения решеточной модели sin-Gordon.
С формальной точки зрения тождество Sc = Zsa и показывает, каким образом
возникает дебаевская длина. Предполагая, что косинус в формуле (20.6.5)
допускает разложение в ряд по малому параметру р1/2е, главный член этого
разложения, а именно квадратичную форму от ср:
-2ze2p (20.6.Ю)
392 Гл. 20. Дальнейшие направления
можно рассматривать в соответствии с соотношением (9.1.25) как введение
массового члена в меру с?ф. Остальные члены разложения косинуса дают
поправки к этой массе. Поэтому можно предполагать, что величина
обратная к дебаевской длине, имеет
асимптотическое разложение
т0 = ^'~(22ре2)1/2Г 1+ Е аптгп($е2)т1 (20.6.11)
L п+т> 1 J
коэффициенты которого атп вычисляются по теории возмущений. Главный член
m~pl п = ?ср п = (2гре2)-'/2-это дебаевская длина в модели среднего поля.
Основной результат работ [Brydges, 1978], [Brydges, Federbush, 1980,
1981] можно сформулировать
с помощью наблюдаемых вида q(f) = ^ q(x) f(x) dx, где f е С",
N
и их произведений А - XI q (/;) (как для решеточного, так и не-
i = 1
прерывного поля).
Теорема 20.6.2. При достаточно малых значениях р и z состояние для
системы в бесконечном объеме (А) = lim (Л) существует и
